Regardez cette matrice de symboles.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + -
++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −−
+ − ++ ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− +
++++ −−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ++++ −−−−
+ - + −− + - ++ - + −− + - ++ - + −− + - ++ - + −− + - +
++ −−−− ++++ −−− ++++ −−−− ++++ −−−− ++
+ −− + - ++ - + −− + - ++ - + −− + - ++ - + −− + - ++ -
++++++++ −−−−−−−− +++++++++ −−−−−−−−−
+ - + - + - + −− + - + - + - ++ - + - + - + −− + - + - + - +
++ −− ++ −−−− ++ +++++ −− ++ +++
+ −− ++ −− + - ++ −− ++ - + −− ++ −− + - ++ −− ++ -
++++ −−−−−−− +++++++++ −−−−−−− ++++
+ - + −− + - + - + - ++ - + - + - + −− + - + - + - ++ - + -
++ −−−− ++ ++++++−− ++−−−− ++ ++++++−
+ −− + - ++ −− ++ - + −− ++ −− + - ++ −− ++ - + −− +
++++++++++++++++ −−−−−−−−−−−−−−−−−
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +
++ −− ++ −− ++ ++ - ++ −−−− ++ −− ++ ++
+ − ++ −− ++ −− ++ −− + - ++ −− ++ −− ++ −− ++ -
++++ −−−− ++++ −−−−−−− ++++ −−−− ++++
+ - + −− + - ++ - + −− + - + - + - ++ - + −− + - ++ - + -
++ −−− ++++ −−−− ++ +++++−−− +++++−
+ −− + - ++ - + −− + - ++ −− ++ - + −− + - ++ - + −− +
++++++++ −−−−−−−−−−−−−−−−− ++++++++++
+ - + - + - + −− + - + - + - + - + - + - + - ++ - + - + - + - + -
++ −− ++ −−−− ++ ++ −− ++ −− ++ −− ++++ −− ++ −−
+ −− ++ −− + - ++ −− ++ −− ++ −− ++ - + −− ++ −− +
++++ −−−−−−− ++++ −−− +++++++++ −−−−
+ - + −− + - + - + - ++ - + −− + - ++ - + - + - + −− + - +
++ −−−− ++ +++++ −−− ++++ −− ++ ++
+ −− + - ++ −− ++ - + −− + - ++ - + −− ++ −− + - ++ -
Beau n'est-ce pas? Cette matrice a plusieurs propriétés merveilleuses. En ignorant la première colonne composée de tous les plus, chaque colonne a le même nombre de plus et de moins. De plus, chaque paire de colonnes contient huit répliques de toutes les paires de symboles possibles (++, + -, + +, −−). Cela fait de cette matrice un soi-disant force orthogonale deux tableau . En utilisant cette matrice comme conception pour une expérience , vous pouvez effectuer une analyse de sensibilité des principaux effets de 31 facteurs en utilisant seulement 32 analyses.
Quelle est la probabilité de générer cette matrice par hasard?
Voici une réponse possible. Il y a 32 lignes et 32 colonnes dans cette matrice. Cela fait 32x32 = 1024 symboles au total. Chaque symbole peut prendre deux valeurs, le nombre de matrices possibles est donc 2 1024 . Si l’on génère une matrice 32 + 32 aléatoire de points positifs et négatifs, la probabilité de générer la matrice ci-dessus est de 1/2 1024 - et c'est un très petit nombre. Comme cette manière de générer la matrice par hasard n'est pas réalisable de notre vivant (ou très probablement de la vie de l'univers), nous pourrions supposer que la matrice ne pourrait pas être générée par hasard.
Peut-il y avoir un autre moyen?
Nous avons deux symboles, + et -. Considérez cette règle pour combiner des symboles. Si je te donne un symbole ou une matrice de symboles, H, tu me rends une matrice qui ressemble à ceci,
H H
H –H
Par exemple, en commençant par + et en appliquant notre règle, nous obtenons
++
+ -
Appliquer la règle à la matrice ci-dessus donne
++++
+ - + -
++ −−
+ −− +
Trois autres itérations produisent notre élégante matrice originale.
La règle est extrêmement simple. La probabilité de générer la règle par hasard pourrait être aussi grand que ½ 4 = 1/16. Donc, pour générer la matrice originale, nous avons besoin des deux symboles, de notre règle de combinaison et de cinq répétitions.
Et ton point est?
Notre évaluation de probabilité initiale impliquait la supposition de 1 024 événements aléatoires indépendants. Cette hypothèse, cette déclaration d'indépendance pour ainsi dire, n'est pas nécessaire.
L'hypothèse d'indépendance est extrêmement forte. Utilisez-le avec précaution dans les arguments statistiques ou philosophiques!
note de bas de page
La matrice d'origine s'appelle un Matrice de Hadamard après le 19ème siècle mathématicien français de ce nom. Hadamard a également inventé la règle simple qui permet de transformer une matrice de Hadamard en une autre matrice comportant deux fois plus de lignes et de colonnes.
Bradley Jones a écrit:
Le générateur de la 7ème édition du livre de Montgomery à la page 326 est
+ + - + + + - - - + -
Puisqu'il y a plus de points positifs que de points négatifs, il termine par une série de points négatifs.
Il est amusant, cependant, que le tableau 8.24 à la page 327 utilise en réalité le générateur.
+ - + - - - + + + - -
Le générateur dans JMP est
- + - + + + - - - + -
Dans ce générateur, il y a un moins de plus que plus, vous avez donc besoin d'une rangée de plus.
Les deux conceptions sont orthogonales et les deux ont le même repliement entre les effets principaux et les interactions à deux facteurs. Je ne sais pas si elles sont isomorphes dans le sens où elles peuvent être obtenues les unes des autres en changeant de ligne, en changeant de colonne ou en échangeant plus ou moins dans une colonne. Je pense qu'il existe plusieurs modèles non isomorphes pour ce cas. Cependant, à toutes fins pratiques, ces conceptions sont équivalentes.
Le tableau 8.24 peut être obtenu à partir du modèle Plackett-Burman à l'aide du concepteur de filtrage en JMP (et en choisissant Conserver le même pour l'ordre des lignes) en échangeant les symboles de toutes les colonnes. Par conséquent, le tableau 8.24 et le plan de dépistage JMP sont isomorphes.
En utilisant Custom Designer pour 11 facteurs sur 12 exécutions, vous obtenez une autre conception orthogonale ayant la même structure d'alias. Il n'est pas facile de voir comment obtenir un design de l'autre en utilisant les trois opérations autorisées mentionnées ci-dessus. Encore une fois, à toutes fins pratiques, la conception D-optimale produite par le concepteur personnalisé est équivalente à une conception de Plackett-Burman.
Manny Uy a écrit:
Brad
J'enseigne actuellement un cours du DOE à l'aide du livre "Conception et analyse d'expériences" de Doug Montgomery, ce que je fais normalement, utilise JMP pour générer divers modèles et analyses au sein des exemples du manuel. Ensuite, je suis arrivé à la section sur les conceptions de Plackett-Burman, où le premier générateur de colonne pour une conception à 11 facteurs et 12 exécutions est + + - + + - - - + -. Cependant, lorsque j'ai utilisé la plate-forme de création d'écran de JMP pour une conception Plackett-Burman avec 11 facteurs et 12 exécutions, je n'ai pas été en mesure de générer la conception saqme en tant que concept utilisant le générateur ci-dessus (première colonne après la colonne identité). Comment JMP génère-t-il sa conception Plackett-Bruman? Je soupçonne avec une matrice de Haadamard comme vous avez mentionné dans cet article. S'il vous plaît aidez-moi à répondre à cette question posée par l'un de mes étudiants.
Manny
