Giuseppe G. Ramirez @ZenEos , dottorato di ricerca, WL Gore and Associates, Inc.
NOTA: questo articolo è apparso originariamente in JMPer Cable, Issue 27, Winter 2011.L'autore è stato recentemente coautore con Brenda Ramirez di un SAS Press Book, Introduzione di Douglas Montgomery al controllo statistico della qualità: un compagno JMP® .
Se hai seguito un corso base di probabilità e statistica, probabilmente sei stato introdotto alla distribuzione uniforme. Non incolpare te stesso se non è in primo piano nella tua memoria; la distribuzione Uniform non ha molto appeal perché descrive un fenomeno con probabilità costante. Sembra difficile trovare applicazioni in ingegneria e scienze per le quali la probabilità di occorrenza sia costante per tutti i valori in un dato intervallo. Vengono in mente numeri pseudo-casuali compresi tra 0 e 1 poiché qualsiasi numero in questo intervallo dovrebbe avere la stessa probabilità di verificarsi. La distribuzione uniforme è stata talvolta utilizzata come modello per la distribuzione del traffico lungo una strada rettilinea.
In generale, le distribuzioni di probabilità sono modelli matematici, o equazioni, utilizzati per descrivere e quantificare il grado di incertezza che osserviamo nei nostri dati. In un modello di probabilità uniforme continuo, la probabilità di osservare un valore X nell'intervallo [θ,θ + σ ] è costante e uguale a, 1/ σ o 1 diviso per la lunghezza dell'intervallo. L'equazione matematica che descrive una funzione di densità di probabilità uniforme continua (rettangolare) è
Uno dei lettori del nostro blog, Statistiche , ha chiesto come adattare una distribuzione Uniform in JMP . Uniforme non è una delle scelte nel menu contestuale Continuous Fit della piattaforma di distribuzione. Tuttavia, Beta è una delle scelte.
Uniforme (θ,θ + σ) è Beta (1, 1,θ, σ).
Fortunatamente, esiste una relazione conveniente tra una distribuzione Beta, che è una delle scelte di JMP, e la distribuzione Uniform. La forma generale della funzione di densità di probabilità Beta è
dove B. ( α , β) è la funzione Beta. Questo pdf generalizza la distribuzione Beta standard a 2 parametri, Beta ( α , β) , dall'intervallo [0,1] a un intervallo limitato arbitrario [θ,θ + σ ]. Quando i valori dei parametri di forma sono α = 1 e β = 1, quindi la funzione beta B. (1, 1) = 1 e il pdf ha probabilità costante pari a 1/ σ . In altre parole, se X è distribuito uniforme nell'intervallo (θ,θ + σ ), allora X è distribuito come Beta(1, 1) con soglia θ e scala σ .
Esploriamo questa relazione. L'istogramma in Figura 1 mostra 100 osservazioni simulate da una distribuzione uniforme nell'intervallo (0,1). Queste osservazioni sono state generate utilizzando il generatore di uniformi casuali nell'editor delle formule.
Come previsto, questa distribuzione ha una forma alquanto rettangolare. Per adattare una distribuzione Uniforme a questi dati, selezionare Adattamento continuo > Beta dal menu contestuale (triangolo rosso) sulla barra del titolo dell'istogramma Uniform(0, 1).
Figure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigura 1. Istogramma e adattamento continuo > Comando Beta
figura 2 mostra l'istogramma con l'adattamento Beta sovrapposto, che ha una forma rettangolare. Le stime dei parametri beta adattate mostrano α=1,07 e β=1,03 (vicino a 1, ma quanto vicino?). Gli intervalli di confidenza al 95% per α e beta entrambi includono 1, indicando che non ci sono prove sufficienti per dire che sono diversi da 1. In termini pratici, ciò significa che si presume che α e β siano 1, quindi la distribuzione Uniform fa un buon lavoro nel descrivere questi dati. Il parametro di soglia, θ, è 0,009 e il parametro di scala, σ, è 0,977 che supporta un Uniform(0, 1). (Si noti che θ e σ non sono stime di massima verosimiglianza. JMP imposta θ sul valore minimo dei dati e σ sull'intervallo (=massimo-minimo) dei dati). Infine, il diagramma diagnostico mostra i punti che si librano strettamente attorno alla linea e all'interno delle bande di confidenza del 95%.
Figure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigura 2. Beta Adatta a dati Uniform(0, 1).
Per un'Uniforme(θ, θ + σ), la media è uguale a θ + σ/2 e la deviazione standard è uguale a σ/√12 . La tabella Momenti in Figura 3 mostra che la media è vicina a 0,5 e la deviazione standard è vicina a 1/√12 = 0,2886. Entrambi gli intervalli di confidenza al 95% per la media e la deviazione standard contengono rispettivamente 0,5 e 0,2886.
Figure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigura 3. Momenti e intervalli di confidenza per dati Uniform(0, 1).
Cosa cercare quando si adatta la versione Beta(1, 1, θ, σ)) Per utilizzare l'adattamento della distribuzione beta per vedere se la distribuzione Uniform è una buona approssimazione per i dati, attenersi alla seguente procedura.
- Adattare una distribuzione Beta nella distribuzione Selezionare Adattamento continuo > Beta dal menu del triangolo rosso sulla barra del titolo dell'istogramma.
- Osservare il rapporto Stime dei parametri e verificare che le stime per i parametri di forma α e β siano vicine a
- Verificare che gli intervalli di confidenza al 95% per α e β includano 1.
- Seleziona Diagramma diagnostico dal menu del triangolo rosso sulla barra del titolo Fitted Beta. I punti sul diagramma diagnostico dovrebbero cadere vicino al rettilineo
- L'uniforme( θ, θ + σ) i parametri sono dati dalla soglia θ e scala σ.
- Selezionare Intervalli di confidenza > .95 dal menu del triangolo rosso sull'istogramma per visualizzare gli intervalli di confidenza del 95% per la media e la deviazione standard (vedere Figura 3 ).
- controllalo θ + σ /2 (media) e σ/√12 (Dev.) sono all'interno degli intervalli.
Esempio: i dati del baby boom di Brisbane > Il 18 dicembre 1997 è stata una giornata da record per Brisbane nel Queensland, in Australia. Quarantaquattro bambini sono nati in un periodo di 24 ore al Mater Mothers' Hospital.
Figura 4 mostra l'istogramma del numero di minuti trascorsi dalla mezzanotte per ogni nascita avvenuta quel giorno. È ragionevole credere che in un periodo di 24 ore un parto possa avvenire in qualsiasi momento, e l'istogramma sembra supportarlo. Una distribuzione uniforme si adatterà bene ai dati?
Figure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigura 4. Numero di minuti da mezzanotte per ogni nascita Figura 5 mostra i risultati per l'adattamento Beta. Le stime dei parametri, α=1,357 e β=1,154, sono prossime a uno e i loro intervalli di confidenza al 95% contengono 1. Il diagramma diagnostico sembra ragionevolmente diretto. La Soglia = 5 e la Scala = 1430, suggeriscono che una distribuzione Uniform(5, 1435) descrive i dati. In altre parole, la probabilità di nascere il 18 dicembre 1997, in un dato minuto in un intervallo di 24 ore, al Mater Mothers' Hospital di Brisbane, in Australia, è 1/1430 = 0,0007 o 0,07%.
Figure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigura 5. La soluzione migliore per le nascite dei bambini di Brisbane
Figura 6 mostra i momenti e gli intervalli di confidenza al 95% per la media e la deviazione standard. Per un'uniforme(5, 1435) la media dovrebbe essere vicina a 5 + 1430/2 = 720 e la deviazione standard vicina a 1450/ √12 = 412.8054. L'intervallo di confidenza al 95% per la media contiene 720 e quello per la deviazione standard contiene 412,8054.
Figure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigura 6. Momenti e intervalli di confidenza per Beta Fit
La prossima volta che ti chiedi se i tuoi dati possono essere descritti da una distribuzione uniforme, pensa "beta" e usa la piattaforma di distribuzione con adattamento continuo > Betafit.
