ジョセフ G. ラミレス@ZenEos 、博士号、 WL ゴア・アンド・アソシエーツ
注: この記事は、JMPer Cable、Issue 27、2011 年冬に掲載されたものです。著者は最近、Brenda Ramirez と SAS Press Book を共同執筆しました。 Douglas Montgomery による統計的品質管理入門: JMP® の仲間.
確率と統計の基本的なコースを受講したことがあれば、おそらく一様分布を紹介されたことでしょう。 それがあなたの記憶の中で最も重要でなくても、自分を責めないでください。一様分布は一定の確率で現象を説明するため、あまり魅力的ではありません。 特定の間隔内のすべての値に対して発生確率が一定である工学および科学のアプリケーションを見つけるのは難しいようです。 0 と 1 の間の疑似乱数が思い浮かびます。これは、この間隔内の任意の数値が発生する確率が同じであるためです。 一様分布は、直線道路に沿った交通量分布のモデルとして使用されることがあります。
一般に、確率分布は数学的モデルまたは方程式であり、データで観察される不確実性の程度を記述および定量化するために使用されます。 連続一様確率モデルの下で、ある値を観察する可能性バツ区間 [θ,θ + σ ] は一定で、1/ に等しいσまたは 1 を間隔の長さで割った値。 連続一様 (長方形) 確率密度関数を表す数式は次のとおりです。
当ブログの読者の一人、 StatInsights 、一様分布をどのように当てはめるかを尋ねられましたJMP . Uniform は、Distribution プラットフォームの Continuous Fit コンテキスト メニューの選択肢の 1 つではありません。 ただし、ベータ版は選択肢の 1 つです。
一様 (θ,θ + σ)ベータ (1, 1,θ, σ)。
幸いなことに、JMP の選択肢の 1 つである Beta ディストリビューションと Uniform ディストリビューションの間には便利な関係があります。 ベータ確率密度関数の一般的な形式は次のとおりです。
どこB. ( α 、 β) はベータ関数です。 この pdf は、標準の 2 パラメータ ベータ分布を一般化したものです。ベータ( α 、 β) 、区間 [0,1] から任意の有界区間 [θ,θ + σ ]。 形状パラメータ値がα = 1 および β = 1 の場合、ベータ関数B. (1, 1) = 1 で、pdf の確率は 1/ σ . つまり、X が区間 (θ,θ + σ ) の場合、X はしきい値 θ とスケールを使用して Beta(1, 1) として分布します。 σ .
この関係を探ってみましょう。 のヒストグラム図1間隔 (0,1) の一様分布からシミュレートされた 100 個の観測値を示します。 これらの観察結果は、式エディターのランダム均一ジェネレーターを使用して生成されました。
予想どおり、この分布はやや長方形の形状をしています。 このデータに一様分布を当てはめるには、ヒストグラム Uniform(0, 1) タイトル バーのコンテキスト メニュー (赤い三角形) から Continuous Fit > Beta を選択します。
Figure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta Command図1。 ヒストグラムと連続フィット > ベータ コマンド
図 2は、ベータ フィットを重ね合わせたヒストグラムを示しています。これは、長方形の形をしています。 当てはめられたベータ パラメータ推定値は、α=1.07 と β=1.03 を示しています (1 に近い — しかし、どれくらい近いか?)。 の 95% 信頼区間αとβどちらも 1 を含み、1 とは異なると言うには十分な証拠がないことを示しています。 実際には、これは α と β が 1 であると想定されることを意味するため、一様分布はこのデータの記述に適しています。 しきい値パラメーター θ は 0.009 で、スケール パラメーター σ は 0.977 で、Uniform(0, 1) をサポートしています。 (θ とσ最尤推定値ではありません。 JMP は、θ をデータの最小値に設定し、σ をデータの範囲 (=最大 - 最小) に設定します。 最後に、診断プロットは、95% の信頼帯内で、線の近くにある点を示しています。
Figure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) Data図 2. ユニフォーム (0, 1) データへのベータ フィット
Uniform(θ, θ + σ) の場合、平均は θ + σ/2 に等しく、標準偏差は σ/√12 に等しくなります。 Moments テーブル図 3は、平均が 0.5 に近く、標準偏差が 1/√12 = 0.2886 に近いことを示しています。 平均と標準偏差の両方の 95% 信頼区間には、それぞれ 0.5 と 0.2886 が含まれています。
Figure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) Data図 3. 一様 (0, 1) データのモーメントと信頼区間
Beta(1, 1, θ, σ)) をフィッティングする際の注意事項ベータ分布近似を使用して、一様分布がデータの適切な近似値であるかどうかを確認するには、次の手順に従います。
- 分布にベータ分布を当てはめる ヒストグラム タイトル バーの赤い三角形のメニューから [連続フィット] > [ベータ] を選択します。
- パラメーター推定レポートを見て、形状パラメーター α と β の推定値が次の値に近いことを確認します。
- α と β の 95% 信頼区間に 1 が含まれていることを確認します。
- Fitted Beta タイトル バーの赤い三角形のメニューから [Diagnostic Plot] を選択します。 診断プロット上の点は、直線に近づくはずです
- ユニフォーム（ θ、θ + σ)パラメータはしきい値によって与えられますθとスケールσ。
- ヒストグラムの赤い三角形のメニューから [信頼区間] > [.95] を選択して、平均と標準偏差の 95% 信頼区間を表示します (参照図 3 ）。
- それを確認しますθ + σ /2 (平均) およびσ/√12 (Dev.) は間隔内にあります。
例: ブリスベンのベビーブームのデータ> 1997 年 12 月 18 日は、オーストラリア、クイーンズランド州のブリスベンにとって記録破りの日でした。 母母病院では 24 時間に 44 人の赤ちゃんが生まれました。
図 4は、その日に発生した各出産の午前 0 時からの分数のヒストグラムを示しています。 24 時間の期間中、いつでも分娩が発生する可能性があると考えるのが妥当であり、ヒストグラムはそれを裏付けているようです。 一様分布はデータにうまく適合しますか?
Figure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each Birth図 4。 各出産の午前 0 時からの分数図 5ベータ フィットの結果を示します。 パラメータ推定値、α=1.357 および β=1.154 は 1 に近く、95% 信頼区間には 1 が含まれています。 診断プロットはかなりまっすぐに見えます。 しきい値 = 5 およびスケール = 1430 は、均一 (5, 1435) 分布がデータを説明していることを示唆しています。 つまり、1997 年 12 月 18 日にオーストラリアのブリスベンにあるメーター マザーズ病院で 24 時間間隔の任意の分に生まれる確率は、1/1430 = 0.0007 または 0.07% です。
Figure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies Births図 5. ブリスベンの赤ちゃんの誕生に最適
図 6平均と標準偏差のモーメントと 95% 信頼区間を示します。 Uniform(5, 1435) の場合、平均は 5 + 1430/2 = 720 に近く、標準偏差は 1450/ に近くなります。 √12 = 412.8054。 平均の 95% 信頼区間には 720 が含まれ、標準偏差の信頼区間には 412.8054 が含まれます。
Figure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta Fit図 6. ベータフィットのモーメントと信頼区間
次回、データを一様分布で記述できるかどうか疑問に思っている場合は、「ベータ版」と考えて、分布プラットフォームと連続適合を使用してください。 >ベータフィット。
