Josef G. Ramirez @ZenEos , Ph.D., WL Gore and Associates, Inc.
HINWEIS: Dieser Artikel erschien ursprünglich in JMPer Cable, Ausgabe 27, Winter 2011.Der Autor hat kürzlich gemeinsam mit Brenda Ramirez ein SAS-Pressebuch verfasst, Douglas Montgomerys Einführung in die statistische Qualitätskontrolle: Ein JMP®-Begleiter .
Wenn Sie einen Grundkurs in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik besucht haben, wurden Sie wahrscheinlich schon mit der Gleichverteilung vertraut gemacht. Machen Sie sich keine Vorwürfe, wenn es nicht in erster Linie in Ihrer Erinnerung ist; die Gleichverteilung hat keinen großen Reiz, weil sie ein Phänomen mit konstanter Wahrscheinlichkeit beschreibt. Es scheint schwierig, Anwendungen in Technik und Wissenschaft zu finden, bei denen die Eintrittswahrscheinlichkeit für alle Werte in einem bestimmten Intervall konstant ist. Pseudozufallszahlen zwischen 0 und 1 kommen mir in den Sinn, da jede Zahl in diesem Intervall die gleiche Wahrscheinlichkeit haben sollte, dass sie auftritt. Die gleichmäßige Verteilung wurde manchmal als Modell für die Verteilung des Verkehrs entlang einer geraden Straße verwendet.
Im Allgemeinen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen mathematische Modelle oder Gleichungen, die verwendet werden, um den Grad der Unsicherheit zu beschreiben und zu quantifizieren, den wir in unseren Daten beobachten. Unter einem kontinuierlichen einheitlichen Wahrscheinlichkeitsmodell die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu beobachten x im Intervall [θ,θ + σ ] ist konstant und gleich 1/ σ oder 1 geteilt durch die Länge des Intervalls. Die mathematische Gleichung, die eine kontinuierliche einheitliche (rechteckige) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt, ist
Einer der Leser unseres Blogs, Statistiken , fragte, wie man eine gleichmäßige Verteilung einfügt JMP . „Uniform“ ist keine der Optionen im Kontextmenü „Continuous Fit“ der Distributionsplattform. Beta ist jedoch eine der Möglichkeiten.
Einheitlich (θ,θ + σ) ist Beta (1, 1, θ, σ).
Glücklicherweise gibt es eine praktische Beziehung zwischen einer Beta-Distribution, die eine der JMP-Optionen ist, und der Uniform-Distribution. Die allgemeine Form der Beta-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist
wo B. ( a , β) ist die Beta-Funktion. Dieses PDF verallgemeinert die standardmäßige 2-Parameter-Beta-Verteilung, Beta ( a , β) , vom Intervall [0,1] zu einem beliebigen begrenzten Intervall [θ,θ + σ ]. Wenn die Formparameterwerte sind a = 1 und β = 1, dann die Beta-Funktion B. (1, 1) = 1 und das PDF hat eine konstante Wahrscheinlichkeit von 1/ σ . Mit anderen Worten, wenn X im Intervall (θ,θ + σ ), dann wird X als Beta(1, 1) mit Schwellenwert θ und Skalierung verteilt σ .
Lassen Sie uns diese Beziehung untersuchen. Das Histogramm ein Abbildung 1 zeigt 100 simulierte Beobachtungen aus einer gleichmäßigen Verteilung im Intervall (0,1). Diese Beobachtungen wurden mit dem Random Uniform Generator im Formeleditor generiert.
Wie erwartet hat diese Verteilung eine etwas rechteckige Form. Um eine gleichmäßige Verteilung an diese Daten anzupassen, wählen Sie im Kontextmenü (rotes Dreieck) in der Titelleiste des Histogramms „Gleichmäßig (0, 1)“ die Option „Kontinuierliche Anpassung“ > „Beta“.
Figure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandAbbildung 1. Histogramm und kontinuierliche Anpassung > Beta-Befehl
Figur 2 zeigt das Histogramm mit dem überlagerten Beta-Fit, der eine rechteckige Form hat. Die angepassten Beta-Parameterschätzungen zeigen α = 1,07 und β = 1,03 (nahe bei 1 – aber wie nahe?). Die 95-%-Konfidenzintervalle für a und β beide enthalten 1, was darauf hinweist, dass es nicht genügend Beweise gibt, um zu sagen, dass sie sich von 1 unterscheiden. In der Praxis bedeutet dies, dass α und β als 1 angenommen werden, sodass die Gleichverteilung diese Daten gut beschreibt. Der Schwellenparameter θ beträgt 0,009 und der Skalierungsparameter σ beträgt 0,977, wodurch ein Uniform (0, 1) unterstützt wird. (Beachten Sie, dass θ und σ sind keine Maximum-Likelihood-Schätzungen. JMP setzt θ auf den minimalen Datenwert und σ auf den Bereich (=Maximum-Minimum) der Daten). Schließlich zeigt das Diagnosediagramm die Punkte, die eng um die Linie und innerhalb der 95 %-Konfidenzbänder schweben.
Figure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigur 2. Betaanpassung an einheitliche (0, 1) Daten
Für Uniform(θ, θ + σ) ist der Mittelwert gleich θ + σ/2 und die Standardabweichung gleich σ/√12 . Die Moments-Tabelle in Figur 3 zeigt, dass der Mittelwert nahe bei 0,5 liegt und die Standardabweichung nahe bei 1/√12 = 0,2886 liegt. Sowohl das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert als auch die Standardabweichung enthalten 0,5 bzw. 0,2886.
Figure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigur 3. Momente und Konfidenzintervalle für einheitliche (0, 1) Daten
Worauf Sie bei der Anpassung von Beta(1, 1, θ, σ)) achten sollten Führen Sie die folgenden Schritte aus, um mithilfe der Beta-Verteilungsanpassung festzustellen, ob die Gleichverteilung eine gute Annäherung an die Daten ist.
- Anpassen einer Beta-Verteilung in der Verteilung Wählen Sie Kontinuierliche Anpassung > Beta aus dem roten Dreiecksmenü in der Titelleiste des Histogramms.
- Sehen Sie sich den Bericht „Parameterschätzungen“ an und vergewissern Sie sich, dass die Schätzungen für die Formparameter α und β nahe beieinander liegen
- Überprüfen Sie, ob die 95 %-Konfidenzintervalle für α und β 1 enthalten.
- Wählen Sie Diagnostic Plot aus dem Menü mit dem roten Dreieck in der Titelleiste von Fitted Beta aus. Die Punkte auf dem diagnostischen Diagramm sollten nahe an der Geraden liegen
- Die Uniform( θ, θ + σ) Parameter sind durch den Schwellenwert gegeben θ und Skala σ.
- Wählen Sie Konfidenzintervalle > 0,95 aus dem roten Dreiecksmenü im Histogramm aus, um 95 %-Konfidenzintervalle für den Mittelwert und die Standardabweichung anzuzeigen (siehe Figur 3 ).
- prüfe das θ + σ /2 (Mittelwert) und σ/√12 (Dev.) liegen innerhalb der Intervalle.
Beispiel: Die Babyboom-Daten von Brisbane > Der 18. Dezember 1997 war ein Rekordtag für Brisbane in Queensland, Australien. Innerhalb von 24 Stunden wurden im Mater Mothers' Hospital 44 Babys geboren.
Figur 4 zeigt das Histogramm der Minuten seit Mitternacht für jede Geburt an diesem Tag. Es ist vernünftig anzunehmen, dass innerhalb von 24 Stunden jede Minute eine Geburt stattfinden kann, und das Histogramm scheint dies zu bestätigen. Passt eine gleichmäßige Verteilung gut zu den Daten?
Figure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigur 4. Anzahl der Minuten seit Mitternacht für jede Geburt Abbildung 5 zeigt die Ergebnisse für die Beta-Anpassung. Die Parameterschätzungen, α = 1,357 und β = 1,154, liegen in der Nähe von eins, und ihre 95-%-Konfidenzintervalle enthalten 1. Das diagnostische Diagramm sieht ziemlich gerade aus. Der Schwellenwert = 5 und die Skala = 1430 legen nahe, dass eine gleichmäßige (5, 1435) Verteilung die Daten beschreibt. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, am 18. Dezember 1997 in einer bestimmten Minute innerhalb eines 24-Stunden-Intervalls im Mater Mothers' Hospital in Brisbane, Australien, geboren zu werden, beträgt 1/1430 = 0,0007 oder 0,07 %.
Figure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsAbbildung 5. Am besten geeignet für die Geburt von Babys in Brisbane
Abbildung 6 zeigt die Momente und 95%-Konfidenzintervalle für den Mittelwert und die Standardabweichung. Für eine Uniform (5, 1435) sollte der Mittelwert nahe bei 5 + 1430/2 = 720 liegen und die Standardabweichung nahe bei 1450/ √12 = 412,8054. Das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert enthält 720 und das für die Standardabweichung enthält 412,8054.
Figure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitAbbildung 6. Momente und Konfidenzintervalle für Beta-Fit
Wenn Sie sich das nächste Mal fragen, ob Ihre Daten durch eine einheitliche Verteilung beschrieben werden können, denken Sie an „Beta“ und verwenden Sie die Verteilungsplattform mit Continuous Fit > Betafit.
