Joseph G Ramírez @ZenEos , doctorat, WL Gore et associés, Inc.
REMARQUE : cet article a été initialement publié dans JMPer Cable, numéro 27, hiver 2011.L'auteur a récemment co-écrit avec Brenda Ramirez un SAS Press Book, Introduction au contrôle statistique de la qualité de Douglas Montgomery : un compagnon JMP® .
Si vous avez suivi un cours de base sur les probabilités et les statistiques, vous avez probablement été initié à la distribution uniforme. Ne vous blâmez pas si ce n'est pas le plus important dans votre mémoire ; la distribution uniforme n'a pas beaucoup d'attrait car elle décrit un phénomène avec une probabilité constante. Il semble difficile de trouver des applications en ingénierie et en science pour lesquelles la probabilité d'occurrence est constante pour toutes les valeurs dans un intervalle donné. Les nombres pseudo-aléatoires entre 0 et 1 viennent à l'esprit puisque tout nombre dans cet intervalle devrait avoir la même probabilité de se produire. La distribution uniforme a parfois été utilisée comme modèle pour la distribution du trafic le long d'une route droite.
En général, les distributions de probabilité sont des modèles mathématiques, ou des équations, utilisés pour décrire et quantifier le degré d'incertitude que nous observons dans nos données. Sous un modèle de probabilité uniforme continue, la probabilité d'observer une valeur X dans l'intervalle [θ,θ + σ ] est constant et égal à, 1/ σ ou 1 divisé par la longueur de l'intervalle. L'équation mathématique décrivant une fonction de densité de probabilité uniforme continue (rectangulaire) est
Un des lecteurs de notre blog, StatInsights , a demandé comment ajuster une distribution uniforme dans JMP . Uniforme ne fait pas partie des choix du menu contextuel Ajustement continu de la plateforme Distribution. Cependant, Beta est l'un des choix.
Uniforme (θ,θ + σ) est Beta (1, 1,θ, σ).
Heureusement, il existe une relation pratique entre une distribution bêta, qui est l'un des choix JMP, et la distribution uniforme. La forme générale de la fonction de densité de probabilité bêta est
où B ( α , β) est la fonction Beta. Ce pdf généralise la distribution bêta standard à 2 paramètres, Bêta ( α , β) , de l'intervalle [0,1] à un intervalle arbitrairement borné [θ,θ + σ ]. Lorsque les valeurs des paramètres de forme sont α = 1 et β = 1, alors la fonction bêta B (1, 1) = 1 et la pdf a une probabilité constante égale à 1/ σ . En d'autres termes, si X est distribué uniformément dans l'intervalle (θ,θ + σ ), alors X est distribué comme Beta(1, 1) avec seuil θ et échelle σ .
Explorons cette relation. L'histogramme en Figure 1 montre 100 observations simulées à partir d'une distribution uniforme dans l'intervalle (0,1). Ces observations ont été générées à l'aide du générateur d'uniformes aléatoires dans l'éditeur de formules.
Comme prévu, cette distribution a une forme quelque peu rectangulaire. Pour ajuster une distribution uniforme à ces données, sélectionnez Ajustement continu > Bêta dans le menu contextuel (triangle rouge) de la barre de titre de l'histogramme Uniforme(0, 1).
Figure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogramme et ajustement continu > Commande Beta
Figure 2 montre l'histogramme avec l'ajustement bêta superposé, qui a une forme rectangulaire. Les estimations ajustées des paramètres bêta montrent α = 1,07 et β = 1,03 (proche de 1 - mais à quel point ?). Les intervalles de confiance à 95 % pour α et β les deux incluent 1, ce qui indique qu'il n'y a pas suffisamment de preuves pour dire qu'ils sont différents de 1. En termes pratiques, cela signifie que α et β sont supposés égaux à 1, de sorte que la distribution uniforme décrit bien ces données. Le paramètre de seuil, θ, est de 0,009 et le paramètre d'échelle, σ, est de 0,977 prenant en charge un Uniform(0, 1). (Notez que θ et σ ne sont pas des estimations du maximum de vraisemblance. JMP définit θ sur la valeur minimale des données et σ sur la plage (= maximum-minimum) des données). Enfin, le tracé de diagnostic montre les points se rapprochant étroitement de la ligne et à l'intérieur des bandes de confiance à 95 %.
Figure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Ajustement bêta aux données uniformes (0, 1)
Pour un Uniforme(θ, θ + σ), la moyenne est égale à θ + σ/2 et l'écart type est égal à σ/√12 . Le tableau Moments dans figure 3 montre que la moyenne est proche de 0,5 et l'écart type proche de 1/√12 = 0,2886. Les intervalles de confiance à 95 % pour la moyenne et l'écart type contiennent respectivement 0,5 et 0,2886.
Figure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments et intervalles de confiance pour les données uniformes (0, 1)
Que rechercher lors de l'ajustement de la bêta (1, 1, θ, σ)) Pour utiliser l'ajustement de la distribution bêta pour voir si la distribution uniforme est une bonne approximation des données, procédez comme suit.
- Ajuster une distribution bêta dans la distribution Sélectionnez Ajustement continu > Bêta dans le menu du triangle rouge sur la barre de titre de l'histogramme.
- Consultez le rapport Parameter Estimates et vérifiez que les estimations des paramètres de forme α et β sont proches de
- Vérifiez que les intervalles de confiance à 95 % pour α et β incluent 1.
- Sélectionnez Diagnostic Plot dans le menu du triangle rouge de la barre de titre Fitted Beta. Les points sur le tracé de diagnostic doivent tomber près de la ligne droite
- L'uniforme( θ, θ + σ) les paramètres sont donnés par le seuil θ et échelle σ.
- Sélectionnez Intervalles de confiance > 0,95 dans le menu du triangle rouge de l'histogramme pour afficher les intervalles de confiance à 95 % pour la moyenne et l'écart type (voir figure 3 ).
- regarde ça θ + σ /2 (moyenne) et σ/√12 (Dev.) sont dans les intervalles.
Exemple : Les données du baby-boom de Brisbane > Le 18 décembre 1997 a été une journée record pour Brisbane dans le Queensland, en Australie. Quarante-quatre bébés sont nés en 24 heures au Mater Mothers' Hospital.
Figure 4 montre l'histogramme du nombre de minutes depuis minuit pour chaque naissance survenue ce jour-là. Il est raisonnable de croire que dans une période de 24 heures, une naissance peut survenir à n'importe quelle minute, et l'histogramme semble le confirmer. Une distribution uniforme s'adaptera-t-elle bien aux données ?
Figure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Nombre de minutes depuis minuit pour chaque naissance Figure 5 montre les résultats pour l'ajustement bêta. Les estimations des paramètres, α=1,357 et β=1,154, sont proches de 1, et leurs intervalles de confiance à 95 % contiennent 1. Le tracé de diagnostic semble raisonnablement droit. Le seuil = 5 et l'échelle = 1430 suggèrent qu'une distribution uniforme (5, 1435) décrit les données. En d'autres termes, la probabilité d'être né le 18 décembre 1997, à n'importe quelle minute donnée dans un intervalle de 24 heures, au Mater Mothers' Hospital de Brisbane, en Australie, est de 1/1430 = 0,0007 ou 0,07 %.
Figure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Idéal pour les naissances de bébés à Brisbane
Figure 6 montre les moments et les intervalles de confiance à 95 % pour la moyenne et l'écart type. Pour un uniforme (5, 1435), la moyenne doit être proche de 5 + 1430/2 = 720 et l'écart type proche de 1450/ √12 = 412,8054. L'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne contient 720 et celui pour l'écart type contient 412,8054.
Figure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments et intervalles de confiance pour Beta Fit
La prochaine fois que vous vous demandez si vos données peuvent être décrites par une distribution uniforme, pensez « bêta » et utilisez la plate-forme de distribution avec ajustement continu. > Betafit.
