約瑟夫·G。 拉米雷斯@ZenEos , 博士, WL Gore and Associates, Inc.
注意：本文最初出現在 JMPer Cable，第 27 期，2011 年冬季。作者最近與 Brenda Ramirez 合著了一本 SAS Press Book， Douglas Montgomery 的統計質量控制簡介：JMP® 伴侶.
如果您已經學習了概率和統計的基礎課程，您可能已經了解了均勻分佈。 如果它在你的記憶中不是最重要的，不要責備自己；均勻分佈沒有太大吸引力，因為它描述了具有恆定概率的現象。 似乎很難在工程和科學中找到在給定區間內所有值的發生概率都是恆定的應用。 會想到 0 到 1 之間的偽隨機數，因為此區間中的任何數字都應該具有相同的發生概率。 均勻分佈有時被用作沿直線道路交通分佈的模型。
一般來說，概率分佈是數學模型或方程，用於描述和量化我們在數據中觀察到的不確定性程度。 在連續均勻概率模型下，觀察一個值的可能性X在區間 [θ,θ + σ ] 是常數，等於 1/ σ或 1 除以間隔的長度。 描述連續均勻（矩形）概率密度函數的數學方程是
我們博客的一位讀者，統計洞察，詢問如何擬合均勻分佈JMP . 均勻不是“分佈”平台的“連續擬合”上下文菜單中的選項之一。 但是，Beta 是其中一種選擇。
均勻 (θ,θ + σ)是 Beta (1, 1,θ, σ)。
幸運的是，作為 JMP 選擇之一的 Beta 分佈與均勻分佈之間存在方便的關係。 Beta概率密度函數的一般形式是
在哪裡B. ( α , β) 是 Beta 函數。 這個 pdf 概括了標準的 2 參數 Beta 分佈，貝塔( α , β) ，從區間 [0,1] 到任意有界區間 [θ,θ + σ ]。 當形狀參數值為α = 1 和 β = 1，則 beta 函數B. (1, 1) = 1 並且 pdf 具有等於 1/ 的恆定概率σ . 換句話說，如果 X 在區間 (θ,θ + σ )，則 X 分佈為 Beta(1, 1)，閾值為 θ 和尺度σ .
讓我們來探討一下這種關係。 中的直方圖圖1顯示區間 (0,1) 中均勻分佈的 100 個模擬觀測值。 這些觀察結果是使用公式編輯器中的隨機均勻生成器生成的。
正如預期的那樣，這種分佈有點矩形。 要將此數據擬合均勻分佈，請從直方圖 Uniform(0, 1) 標題欄上的上下文菜單（紅色三角形）中選擇 Continuous Fit > Beta。
Figure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta CommandFigure 1. Histogram and Continuous Fit > Beta Command圖1。 直方圖和連續擬合 > Beta 命令
圖 2顯示了具有疊加 Beta 擬合的直方圖，它具有矩形形狀。 擬合的 Beta 參數估計值顯示 α=1.07 和 β=1.03（接近 1 - 但有多接近？）。 的 95% 置信區間α和β兩者都包含 1，表明沒有足夠的證據表明它們與 1 不同。 實際上，這意味著 α 和 β 被假定為 1，因此均勻分佈在描述這些數據方面做得很好。 閾值參數 θ 為 0.009，尺度參數 σ 為 0.977，支持 Uniform(0, 1)。 （注意 θ 和σ不是最大似然估計。 JMP 將 θ 設置為最小數據值，將 σ 設置為數據的範圍（=最大-最小）。 最後，診斷圖顯示了圍繞線盤旋的點，並且在 95% 的置信區間內。
Figure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) DataFigure 2. Beta Fit to Uniform(0, 1) Data圖 2。 Beta 擬合到 Uniform(0, 1) 數據
對於 Uniform(θ, θ + σ)，均值等於 θ + σ/2，標準差等於 σ/√12。 中的 Moments 表圖 3顯示平均值接近 0.5，標準差接近 1/√12 = 0.2886。 均值和標準差的 95% 置信區間分別包含 0.5 和 0.2886。
Figure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) DataFigure 3. Moments and Confidence Intervals for Uniform(0, 1) Data圖 3。 Uniform(0, 1) 數據的矩和置信區間
擬合 Beta(1, 1, θ, σ)) 時要尋找什麼要使用 beta 分佈擬合來查看均勻分佈是否是數據的良好近似值，請執行以下步驟。
- 在分佈中擬合 Beta 分佈 從直方圖標題欄上的紅色小三角菜單中選擇連續擬合 > Beta。
- 查看 Parameter Estimates 報告並驗證形狀參數 α 和 β 的估計值是否接近
- 驗證 α 和 β 的 95% 置信區間是否包括 1。
- 從 Fitted Beta 標題欄上的紅色小三角菜單中選擇診斷圖。 診斷圖上的點應靠近直線
- 制服( θ, θ + σ)參數由閾值給出θ 和尺度σ。
- 從直方圖上的紅色小三角菜單中選擇置信區間 > .95，查看均值和標準差的 95% 置信區間（參見圖 3 )。
- 檢查θ + σ /2（平均值）和σ/√12 (Dev.) 在區間內。
示例：布里斯班嬰兒潮數據> 1997 年 12 月 18 日是澳大利亞昆士蘭州布里斯班創紀錄的一天。 母親醫院 24 小時內有 44 名嬰兒出生。
圖 4顯示當天發生的每個出生從午夜開始的分鐘數的直方圖。 有理由相信，在 24 小時內，任何時候都可能發生分娩，直方圖似乎支持了這一點。 均勻分佈能否很好地擬合數據？
Figure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each BirthFigure 4. Number of Minutes Since Midnight for Each Birth圖 4。 每次出生從午夜開始的分鐘數圖 5顯示 Beta 擬合的結果。 參數估計值 α=1.357 和 β=1.154 在 1 附近，並且它們的 95% 置信區間包含 1。 診斷圖看起來相當直。 Threshold = 5 和 Scale =1430，表明 Uniform(5, 1435) 分佈描述了數據。 換言之，1997 年 12 月 18 日，在 24 小時間隔內的任何給定分鐘內，出生在澳大利亞布里斯班的 Mater Mothers 醫院的概率是 1/1430 = 0.0007 或 0.07%。
Figure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies BirthsFigure 5. Best Fit for Brisbane's Babies Births圖 5。 最適合佈里斯班的嬰兒出生
圖 6顯示均值和標準差的矩和 95% 置信區間。 對於 Uniform(5, 1435)，平均值應接近 5 + 1430/2 = 720，標準差接近 1450/ √12 = 412.8054。 平均值的 95% 置信區間確實包含 720，標準差的置信區間包含 412.8054。
Figure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta FitFigure 6. Moments and Confidence Intervals for Beta Fit圖 6。 Beta 擬合的矩和置信區間
下次您想知道您的數據是否可以用均勻分佈來描述時，請考慮“測試版”並使用具有連續擬合的分佈平台>貝塔適合。
