Scott schrieb:
Tolle Serie, danke, dass Sie es zusammengestellt haben. Sie haben die Formeln für JMP und diese sind im Wesentlichen geschlossene Lösungen, aber um den Profiler und andere Informationen zu erhalten, gehe ich davon aus, dass Sie eine Reihe von Zeilen mit den Temperaturen eingeben müssen. Es wäre auch schön, die Werte für theta1 und theta2 zu haben, damit ich versuchen könnte, die Ausgabe in JMP nachzuahmen.
Vielen Dank,
Scott
Jeanette Elliott schrieb:
Scott - ich dachte das Gleiche und dann wurde mir klar, dass ich das Buch hatte! Hier sind die Werte in ihrem Beispiel: theta1 = 5,0259 x 10 ^ 16, theta2 = 1,9279 x 10 ^ 4, theta3 = 1,3862 x 10 ^ 14 und theta4 = 1,6819 x 10 ^ 4.
(HINWEIS: Dies ist Teil zwei einer dreiteiligen Serie zur stochastischen Optimierung.)
Im mein vorheriger Beitrag Ich habe die stochastische Optimierung eingeführt. In diesem Beitrag zeige ich ein echtes Beispiel. Dieses Beispiel wurde im klassischen Text von George Box und Norman Draper beschrieben: Empirische Modellbildungs- und Reaktionsoberflächen (Seite 32), und Brad Jones, Statistical R & D Director von JMP, stellte fest, dass dies ein hervorragendes Beispiel für eine robuste Verfahrenstechnik ist.
Stellen Sie sich vor, Sie kochen ernsthaft, aber anstatt Essen zuzubereiten, kochen Sie Chemikalien, vielleicht sogar eine lebensrettende Droge. Ihr Kochtopf ist wirklich ein chemischer Reaktor, und die Menschen werden sich auf Ihr Produkt verlassen, um Leben zu retten. Die Reaktion, die Ihr chemisches Produkt kocht, hat zwei große steuerbare Faktoren:
- wie heiß du es kochst, Temperatur
- wie lange du es kochst, Zeit
Die Reaktion, die Sie durchführen, wandelt den Ausgangsbestandteil A in die gewünschte Chemikalie B um. Aber wenn Sie es zu heiß und zu lange kochen, verwandelt sich das B, das Sie herstellen, in eine andere Chemikalie, C. Hier ist das Bild. Denken Sie daran, dass wir das grüne B maximieren und das blaue und rote A und C minimieren möchten:
Dies passt zu einem klassischen Optimierungsframework, das mit Sicherheit ein schönes Optimum aufweist, das die Ausbeute von B maximiert.
Hier sind die Formeln wie in der JMP-Tabelle. Die Ausbeuteformel ist eine Funktion der Zeit und der Reaktionsgeschwindigkeiten; Die Reaktionsgeschwindigkeiten sind auch Formeln, Funktionen der Temperatur. Wir müssen nicht einmal die Parameter theta1 bis theta2 schätzen; sie sind bereits bekannt. Die Reaktionstemperatur ist bereits in Kelvin angegeben, es handelt sich also im Grunde genommen um Modelle vom Arrhenius-Typ, die Chemikern bekannt sind.
Ausbeute
k1
k2
Also lasst uns optimieren. In JMP verwenden wir den Profiler, um Querschnitte der Antwortfläche für den Ertrag zu visualisieren, und verwenden dort einen Befehl, um die Einstellungen zu finden, die den Ertrag maximieren. Hier sehen wir, dass wir heiß und schnell kochen müssen, um die Ausbeute bei 0,621 zu maximieren (Temperatur bei 539,95 Grad, Zeit bei 0,1158).
Eine andere Perspektive, die horizontale Querschnitte verwendet, ist mit dem Konturprofiler verfügbar, bei dem wir verschiedene Kombinationen von Temperatur und Zeit sehen können, die eine gute Ausbeute von mindestens 60 (nicht schattiert) oder 61 (innerhalb der roten Konturlinie) mit dem erzielen Fadenkreuz bei optimalen Einstellungen, um eine Ausbeute von 0,621 zu erzielen.
Aber wir können die Temperatur oder die Reaktionszeit nicht wirklich genau steuern. Die Temperatur und die Zeit variieren zumindest in einer Produktionssituation.
Angenommen, die Standardabweichung der Temperatur beträgt 1 und die Standardabweichung der Zeit beträgt 0,03. Im Konturdiagramm wird dies durch die schwarze Ellipse dargestellt, die 95 Prozent der Variation der beiden Faktoren enthalten würde. Beachten Sie, dass die zeitliche Variation dazu führen wird, dass viele Chargen in die rosa Zone fallen und nicht einmal eine Ausbeute von 60 erreichen. Wie schlimm wird es sein?
Der Profiler verfügt über eine integrierte Simulationsfunktion. Geben Sie dort die Standardabweichungen ein und klicken Sie auf die Schaltfläche Simulieren.
Wir haben eine untere Spezifikationsgrenze von 0,55 für die Ausbeute, die der Profiler-Simulator als rote Linie im Histogramm anzeigt. Wenn eine Charge nicht 0,55 erreicht, muss sie verworfen werden. Bei den aktuellen Einstellungen für das Zentrum von Temperatur und Zeit werden 4,2 Prozent fehlerhafte Chargen produziert. Das ist nicht gut.
Versuchen wir es mit anderen Einstellungen. Angenommen, ich senke die Temperatur auf 535 und stelle dann die Zeit auf den Punkt ein, der die Ausbeute für diese Temperatur maximiert. Dort sinkt meine Fehlerquote auf rund 1,9 Prozent - viel besser. Die Kombinationen, die eine feste Ausbeute maximieren, minimieren also keine Fehlerrate bei Vorhandensein von Variationen in den Eingaben.
Merken Mein Blogbeitrag über das Finden der "Wohnungen" ? Die meisten Optimierungen landen auf einem Hügel gegen eine bestimmte Komponentengrenze. Wenn wir jedoch einen flacheren Ort finden, wird dies die Variation verringern. Die Definition von Ebenheit ist, dass die Steigungen in jeder Richtung sehr klein oder Null sind. Wir können diese Steigungen (Gradienten, Ableitungen) modellieren. Der Profiler verfügt über eine integrierte Funktion, mit der festgelegt werden kann, dass ein oder mehrere Faktoren „Rauschfaktoren“ sind und dass der Profiler die Ableitungen der Antwortfläche in Bezug auf diese Rauschfaktoren modellieren und prüfen soll, ob er gemeinsam zur Maximierung optimiert werden kann nachgeben und die Steigung minimieren. Nachdem wir dies maximiert haben, sehen wir, dass wir uns jetzt in einem flachen Bereich befinden, in dem der Gradient in beiden Richtungen nahe Null ist.
Jetzt verwenden wir den Simulator, um die Fehlerrate zu berechnen. Es ist 3,3 Prozent. Dies unterscheidet sich nicht wesentlich vom festen Optimum. Beachten Sie, dass sich die Faktoreinstellungen nicht wesentlich von den festen optimalen Hot-and-Fast-Einstellungen unterscheiden.
Sind wir nicht auf einer flachen Stelle gelandet? Schauen Sie sich ein Flächendiagramm an.
Die beiden Gitter kreuzen sich bei den aktuellen Werten, und Sie sehen, dass wir auf einer relativ flachen Stelle nahe der Spitze des Hügels gelandet sind. Aber es ist auf einem ziemlich schmalen Grat. Obwohl die ersten Ableitungen hier klein sein können, ist die zweite Ableitung hier groß, da die starke Biegung von diesem Punkt zu einem steilen Abfall führt. Wir könnten also in Betracht ziehen, einen flachen Punkt im Sinne zweiten Grades zu finden.
Es gibt jedoch bessere Möglichkeiten, um das stochastische Optimum zu finden - die Faktorzentren zu finden, um die Fehlerrate zu minimieren. Die stochastische Programmierung macht das. Aber stochastische Programmierung ist schwierig. Wie können wir das einfach machen? Die Antwort wird in meinem nächsten Blog-Beitrag sein. Es stellt sich heraus, dass wir mit dieser Technik Defekte um eine Größenordnung kleiner reduzieren können, daher ist sie sehr wertvoll. Wir müssen von heiß und schnell zu kühler und langsamer wechseln, um dies zu erreichen, und es gibt eine großartige Möglichkeit, die besten Einstellungen dafür zu finden.
UPDATE: Die dritte Blogpost in dieser Reihe ist ebenfalls verfügbar.
