Die folgende Karte erschien in einem Artikel mit dem Titel " Wo Gleichgeschlechtliche Paare leben "in der Upshot - Sektion der New York Times kurz nach der Entscheidung des Obersten Gerichtshofs der USA befand, dass die Verfassung der Recht auf gleichgeschlechtliche Ehe in den USA.
Die Kartenfarbe zeigt den Anteil gleichgeschlechtlicher Paare in jedem Bezirk im Jahr 2010. Die Zahlen sind notwendigerweise ungefähr; das Upshot verwendet Gary Gates 'Anpassungen des Rohmaterials Amerikanische Gemeinschaftsumfrage (ACS) -Daten zur Berücksichtigung von Codierungsfehlern.
Ein Merkmal der Karte, das mir bemerkenswert erschien, ist die Menge an Variabilität im ganzen Land. Es hat mich aber auch daran erinnert Howard Wainer 's Kapitel über Die gefährlichste Gleichung ”In seinem Buch Die unsichere Welt . Er nennt es "de Moivre-Gleichung", die vorsieht, dass kleinere Stichproben die Variabilität erhöhen. Insbesondere ist die Standardabweichung um den Mittelwert einer Gruppe von Proben umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Probengröße. Er gibt Beispiele anhand von Krankheitsraten und Schulleistungen. In jedem Fall ergeben kleinere Bevölkerungsstichproben die höchsten und die niedrigsten Raten.
Es ist nicht schwer zu sehen, warum es mit einem Beispiel aus diesem Datensatz geht. Douglas County, South Dakota, hat mit 17,4 pro 1.000 einen der höchsten Anteile gleichgeschlechtlicher Paare im Land, während das nahegelegene Hanson County ein Minimum von 0 hat. In jedem dieser Bezirke gibt es weniger als 1.500 Haushalte. Angesichts der Stichprobenrate des ACS für South Dakota können wir schätzen, dass in jedem Bezirk weniger als 30 Haushalte erfasst wurden. So sieht ein gleichgeschlechtliches Paar in 30 Befragten für Douglas County selbst nach Gates 'Anpassungen einen relativ hohen Anteil aus. Mittlerweile sehen 0 gleichgeschlechtliche Paare in 30 für alle Hanson County keine aus.
Es gibt „Techniken zur Schätzung der kleinen Fläche“, um einige dieser Probleme zu lösen. Wenn Sie zum Beispiel einen Durchschnitt der in der Nähe befindlichen Grafschaften zusammenstellen, können Sie die Extremwerte glätten und dabei möglicherweise Informationen verlieren. Eine andere Technik besteht darin, aufeinanderfolgende Datenjahre zu kombinieren. In diesem Fall war 2010 das erste Jahr, in dem die Umfrage nach unverheirateten Partnern befragt wurde.
Mein Interesse ist es jedoch, einen Weg zu finden, um besser zu sehen, "wo gleichgeschlechtliche Paare leben", wie der Titel des Artikels von Upshot lautet. Der Text dieses Artikels ist sorgfältig, nur Raten für große Landkreise zu vergleichen, aber die Karte verfügt nicht über solche Qualifikationen. Können wir die Unsicherheit irgendwie zeigen?
Trichter-Diagramm
Eine grafische Technik zum Verständnis von Proportionen mit unterschiedlichen Stichprobengrößen ist Trichterplot . Ein Trichterdiagramm ist ein Streudiagramm der Proportionen im Vergleich zu den entsprechenden Probengrößen. Bei geringen Stichprobengrößen erwarten Sie mehr Variationen. Unter der Annahme, dass alle Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stammen, können wir Kurven zeichnen, die denjenigen entsprechen, von denen wir erwarten, dass die meisten Proportionen abnehmen. Punkte weit außerhalb der Kurven sind wahrscheinlich Ausreißer, möglicherweise nicht wirklich Teil derselben Population.
Hier ist ein Trichterplot der Proportionen des gleichgeschlechtlichen Paares mit einigen Punkten. Für Bezirke mit großen Städten habe ich den Städtenamen als Bezeichnung verwendet.
Die orange Linie zeigt den (gewichteten) großen Mittelwert, und die Kurven zeigen die Vertrauensintervalle basierend auf der De Moivre-Gleichung. Bei 3.100 Counties würden wir erwarten, dass einige außerhalb des Intervalls von 99,8% angenommen werden, wenn eine Normalverteilung angenommen wird. Stattdessen haben wir viele solcher Bezirke, einige davon weit außerhalb des Intervalls. Dies deutet darauf hin, dass etwas systematisch anders ist, als nur eine zufällige Variation. Wenn man die Etiketten betrachtet, sieht man viele große Städte und einige Universitätsstädte.
Z-Score Map
Douglas County hat laut den angepassten Daten den sechsthöchsten Anteil gleichgeschlechtlicher Paare - aber er liegt deutlich unter der 95-Prozent-Grenze und ist daher nicht besonders bemerkenswert. Wie können wir das auf einer Karte darstellen? Eine Idee ist, jeden Landkreis um seinen Abstand oberhalb oder unterhalb des Mittelwerts relativ zu den Kurven zu färben. Das heißt, wir färben es durch einen Z-Score, die Anzahl der Standardfehler über oder unter dem Mittelwert. Die innere Kurve repräsentiert eine Z-Bewertung von 1,96 und die äußere Kurve repräsentiert eine Z-Bewertung von 3. Hier ist die resultierende Karte.
Ich habe eine benutzerdefinierte blau-grau-rote Farbskala mit extra dunklen Farben an den Extremen erstellt und dem Z-Score-Bereich -4 bis 4 zugeordnet, basierend auf dem Mittelwert der Nicht-Ausreißer. Alle extremen Ausreißer zeigen sich als gleich dunkelrot oder blau, wodurch an den Rändern einige Informationen verloren gehen, so dass die Mitte nicht ausgewaschen wird. Natürlich kann der Anteil nicht unter Null gehen, so dass nur Kreise mit großen Stichprobenpopulationen als niedrige Extremwerte auftreten könnten, aber keine.
Von dieser Karte können wir Folgendes sehen:
Es gibt einige extrem hohe Ausreißer, meistens in Großstädten.Wenn Sie Ihre US-Geografie kennen, können Sie feststellen, dass einige kleinere Städte wie Madison, Wisconsin und Asheville, North Carolina, hohe Z-Werte aufweisen. (Sehen mein JMP-Tisch für eine interaktive Version mit Hover-Labels.)Der größte Teil des Landes ist gräulich und liegt im Bereich der unauffälligen Variationen weder offensichtlich höher noch niedriger als der Mittelwert. South Dakota hat sicherlich weniger extreme Variationen als zuvor.Wir können immer noch einen Cluster hoher Werte in Neuengland sehen, obwohl er konzentrierter ist als zuvor.Die Ansammlung höherer Werte in Nordwisconsin ist immer noch vorhanden, aber weniger ausgeprägt.Die Karte erinnert uns auch an einige Mängel von Choroplethenkarten im Allgemeinen. Neben der Ungenauigkeit der Farbe sind die Bereiche an politische Grenzen gebunden und haben unregelmäßige Größen. Einige Bezirke wie San Francisco in Kalifornien sind so klein, dass wir sie kaum sehen können, und andere, wie im Südwesten, haben große Gebiete, die von lokalisierten Bevölkerungen dominiert werden.
Extreme Werte
Wenn wir wirklich wissen wollen, wo die gleichgeschlechtlichen Paare leben, können wir die Karte mit einem Diagramm der Länder mit der höchsten und niedrigsten Punktzahl kombinieren. Hier sind die Grafschaften mit einem Z-Score von mehr als 4. Es gibt keine unter -4 oder gar -3; Utah County, Utah, hat die niedrigste z-Bewertung mit -2,98.
Vorsichtsmaßnahmen
Dies war ein schwieriger Datensatz, mit dem gearbeitet werden konnte. Obwohl es interessant und möglicherweise aufschlussreich ist, müssen wir bedenken, dass die Abtastraten an Orten niedrig sind und die Proportionen so klein sind, dass sie durch Codierungsfehler und andere Verhaltensweisen beeinflusst werden können. Darüber hinaus verhalten sich Proportionen nicht ganz wie "reguläre" Zahlen, aber der zentrale Grenzwertsatz und die große Anzahl von Landkreisen geben uns Trost bei der Verwendung einer Normalverteilung. Mit saubereren, ganzzahligen Daten hätten wir eine Binomialverteilung für die Vertrauenskurven verwenden können, wie in Rick Wicklins Beitrag zu Trichterplänen .
Meine Datendatei mit Graphskripten ist in der JMP User Community verfügbar und ein Add-In für die Erstellung von Trichterplots in JMP wird in Kürze verfügbar sein.
