以下地圖出現在一篇標題為“ 同性伴侶生活在哪裡美國最高法院的裁決裁定憲法授予“紐約時報”後不久，紐約時報的Upshot一節同性婚姻的權利整個美國。
地圖著色顯示了2010年每個縣的同性伴侶比例。這些數字必然是近似的; Upshot使用加里蓋茨 '調整原料美國社區調查 （ACS）數據來解釋編碼錯誤。
令我印象深刻的地圖的一個特點是數量變化性在全國各地。但是，它也提醒了我霍華德瓦納的章節“ 最危險的方程式 “在他的書中描繪不確定的世界 。他稱之為“de Moivre方程式”，它規定較小的樣本具有增加的可變性。特別地，關於一組樣品的平均值的標準偏差與樣品大小的平方根成反比。他根據疾病發生率和學校表現給出了例子。在每種情況下，較小的人口樣本產生最高和最低的比率。
通過這個數據集中的示例，不難看出原因。南達科他州的道格拉斯縣是該國同性伴侶中比例最高的一種，每千人中有17.4人，而附近的漢森縣則最低為0。這些縣中每個縣的家庭數量不足1,500戶，考慮到南達科他州的ACS抽樣率，我們可以估計每個縣的抽樣家庭不到30戶。因此，即使在蓋茨的調整之後，道格拉斯縣的30名受訪者中的一對同性伴侶看起來相對較大。與此同時，30名同性伴侶在漢森縣的所有人中看起來都沒有。
存在用於處理這些問題中的一些的“小面積估計”技術。例如，將附近的縣平均在一起可以幫助平滑極端，但可能會丟失信息。另一種技術是結合連續多年的數據，但在這種情況下，2010年是調查詢問未婚合作夥伴的第一年。
不過，我的興趣在於找到一種方法來更好地看到“同性伴侶住在哪裡”，這是Upshot文章的標題。該文的內容是謹慎地比較大縣的費率，但地圖沒有這樣的資格。我們能以某種方式顯示不確定性嗎？
漏斗圖
一種用於理解不同樣本大小的比例的圖形技術是a 漏斗圖 。漏斗圖是比例的散點圖與其對應的樣本大小。對於低樣本量，您期望更多變化。假設所有樣本來自相同的群體，我們可以繪製與我們預期大部分比例下降的位置相對應的曲線。遠離曲線的點可能是異常值，畢竟可能不是同一群體中的一部分。
這是一個同性夫妻比例的漏斗圖，標有一些點。對於包含大城市的縣，我使用城市名稱作為標籤。
橙色線顯示（加權）宏均值，曲線顯示基於de Moivre方程的置信區間。有3100個縣，假設正常分佈，我們預計會有一些在99.8％區間之外。但相反，我們有許多這樣的縣，其中一些遠在區間之外。這表明他們有一些系統的不同，而不僅僅是常見的隨機變異。看看標籤，我們可以看到許多大城市和一些大學城。
Z-Score地圖
根據調整後的數據，我們可以看到道格拉斯縣的同性伴侶比例排名第六 - 但它遠低於95％的線，所以並不是那麼值得注意。我們怎樣才能在地圖上表示？一種想法是通過相對於曲線的平均值之上或之下的距離為每個縣著色。也就是說，我們通過z分數對其進行著色，標準誤差高於或低於均值。內部曲線表示z分數為1.96，外部曲線表示z分數為3。這是結果地圖。
我根據非離群值的平均值製作了一個自定義的藍灰紅色色標，在極端情況下使用了額外的深色，並映射到z-score範圍-4到4。所有極端異常值都顯示為相同的深紅色或藍色，這會在邊緣丟失一些信息，因此中間不會被沖刷掉。當然，這個比例不能低於零，因此只有樣本數量較多的縣才會出現低端，但沒有一個出現。
從這張地圖中，我們可以看到以下內容：
有一些極高的異常值，主要是在大城市附近。如果您了解美國的地理位置，您會注意到一些較小的城市，如麥迪遜，威斯康星州和北卡羅來納州的阿什維爾，都有很高的z分數。 （看到我的JMP表對於帶有懸停標籤的交互式版本。）該國大部分地區是灰色的，並且在不顯著的變化範圍內，既不明顯高於或低於平均值。南達科他州的極端變異肯定比以前少。我們仍然可以在新英格蘭看到一組高價值，儘管它比以前更加集中。威斯康星州北部的高價值集群仍然存在，但不太明顯。該地圖還提醒我們一般的等值線圖的一些缺點。除了顏色不准確之外，這些區域還受到政治邊界的限制，並且尺寸不規則。一些縣，例如加利福尼亞州的舊金山，如此之小，以至於我們幾乎看不到它們，而其他縣，例如西南地區，則有大片地區由本地人口占主導地位。
極端值
如果我們真的想知道同性伴侶住在哪裡，我們可能會將地圖與最高和最低得分縣的圖表配對。以下是z分數高於4的縣。沒有低於-4或甚至-3;猶他州猶他州的z分數最低，為-2.98。
注意事項
這是一個具有挑戰性的數據集。雖然它很有趣且具有潛在的洞察力，但我們必須記住，採樣率很低，而且比例足夠小，以至於它們可能受到編碼錯誤和其他行為的影響。此外，比例並不像“常規”數字那樣，但是中心極限定理和大量的縣給了我們使用正態分佈的一些安慰。使用更清晰的整數數據，我們可以使用二項分佈作為置信度曲線，如 Rick Wicklin關於漏斗圖的帖子 。
我的帶有圖形腳本的數據文件可在JMP用戶社區中獲得，並且即將推出用於在JMP中製作漏斗圖的插件。
安迪W 中寫道：
另一種流行的方式即。考慮到估算中的不確定性的地圖是按alpha值繪製的，請參閱 http://andywoodruff.com/blog/value-by-alpha-maps/ 。標準誤差較高的地方（即總人口較少）將以更高的透明度繪製。儘管如此，您的z-score地圖可能更容易消化模式。（雖然顏色漸變可能不對稱。）
