El 8 de febrero, mi colega, el profesor Douglas Montgomery de la Universidad Estatal de Arizona, y yo presentamos un seminario web para la Asociación Americana de Estadística. Nuestra primera demostración versó sobre el diseño de un experimento para seis factores, cada uno con dos niveles en 24 ejecuciones. Una forma natural de construir tal diseño sería elegir seis columnas de la matriz ortogonal descubierta por Plackett y Burman, que tiene 24 filas y 23 columnas (ver más abajo).
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Espera un segundo. ¿Qué es una matriz ortogonal?
Una matriz ortogonal es una matriz de símbolos, en nuestro caso "+" y "-". En cada par de columnas, solo hay cuatro pares posibles de símbolos: “+ +”, “+ -“, ”- +” y “- -“. Para ser una matriz ortogonal, cada par de símbolos debe aparecer con la misma frecuencia en cada par de columnas. En la matriz anterior, cada uno de los cuatro pares de símbolos aparece seis veces en cada uno de los 253 pares de columnas.
Las matrices ortogonales tienen una gran importancia histórica en el campo del diseño de experimentos. Hasta la llegada de las computadoras, prácticamente todos los diseños de experimentos utilizaban una matriz ortogonal. Hay dos razones principales por las cuales los practicantes tempranos se enfocaron en arreglos ortogonales. En primer lugar, es fácil calcular el efecto de cambiar cualquier factor: solo tiene que promediar todas las respuestas para los ensayos que se ejecutan en el nivel + del factor y restar el promedio de todas las respuestas para los ensayos que se ejecutan en el nivel del factor. Segundo, el efecto estimado de cualquier factor es estadísticamente independiente del efecto estimado de cualquier otro factor.
Si los arreglos ortogonales son tan grandes, ¿para qué usar otra cosa?
Las matrices ortogonales son muy útiles, pero solo existen para ciertos números de ensayos. Por ejemplo, las matrices ortogonales que tienen dos símbolos en cada columna solo existen cuando el número de intentos es un múltiplo de cuatro. Si todos los factores tienen dos niveles, no existe una matriz ortogonal con 15 filas.
Más importante es el hecho de que, aunque los efectos principales de cada factor en una matriz ortogonal son independientes, las interacciones de dos factores pueden no serlo. En el ejemplo que Doug y yo presentamos, quisimos poder estimar tanto los seis efectos principales como las 15 interacciones de dos factores. Si incluye el promedio general, hay 22 cantidades desconocidas que queremos estimar. Dado que hay 24 ejecuciones, parece posible ajustar este modelo de 22 términos utilizando mínimos cuadrados ordinarios.
¿Puede elegir seis columnas del diseño de Plackett-Burman para adaptarse a este modelo?
Depende de que seis columnas uses. Hay 100,947 formas en que puedes escoger seis columnas de las 23. De ellos, más de la mitad son incapaces de ajustar el modelo de interacciones de dos factores. Por supuesto, hay 49,588 formas de elegir las seis columnas que hacer Permite ajustar todas las interacciones de dos factores. Dependiendo del grupo de seis columnas que elija, la varianza promedio de las estimaciones del coeficiente puede variar por un factor de> 28. Es decir, para el diseño de seis columnas, la opción menos deseable estima los coeficientes 28 veces peor que la opción más deseable. Entonces, para construir su diseño seleccionando seis columnas de la matriz anterior, debe tener mucho cuidado.
¿Hay otras opciones de diseño ortogonales que sean mejores?
Le pedí ayuda a mi colega, el Dr. Eric Schoen de la Universidad de Amberes, aquí. Eric es un investigador de renombre mundial en diseño ortogonal. Él ha construido un catálogo de todos los arreglos ortogonales estadísticamente diferentes que tienen seis columnas y 24 filas. Resulta que solo hay 1.350 de ellos. Por lo tanto, la mayoría de las seis opciones de columna de las 23 columnas del diseño de Plackett-Burman no fueron únicas. Además, no son exhaustivos. Resulta que 20 de las matrices ortogonales de Eric eran mejores que cualquiera de las seis opciones de columna del diseño de Plackett-Burman. El mejor de estos fue aproximadamente un 8% mejor que la mejor matriz ortogonal que encontré anteriormente. Solo 447 de los 1,350 arreglos ortogonales únicos podrían ajustarse al modelo.
¿Puedes hacerlo mejor estimando todos los efectos de interés?
La respuesta es sí, pero solo si no utiliza una matriz ortogonal. Construí un diseño D-óptimo utilizando el Diseñador personalizado en JMP . La Tabla 1 muestra la comparación de los factores de inflación de varianza (VIF) para el diseño D-óptimo en comparación con la mejor matriz ortogonal.
Tenga en cuenta que el VIF para cada efecto principal y la interacción de dos factores es menor (mejor) para el diseño D-óptimo que para la mejor de las matrices ortogonales.
La conclusión es que no se limite solo considerando matrices ortogonales.
Muchos investigadores solo consideran matrices ortogonales cuando planifican sus experimentos. Esta restricción tiene un precio, como lo muestra el ejemplo del seminario web.
Encontrar el mejor arreglo ortogonal en realidad requería más experiencia en diseño de experimentos y más computación que encontrar el diseño D-óptimo, y el diseño resultante era estadísticamente inferior.
