2月8日、私の同僚であるアリゾナ州立大学のDouglas Montgomery教授と私はアメリカ統計協会のウェビナーを発表しました。私たちの最初のデモンストレーションでは、24回の実行でそれぞれ2つのレベルを持つ6つの要因について実験を計画しました。そのようなデザインを構築するための1つの自然な方法は、PlackettとBurmanによって発見された、24行と23列を持つ直交配列から6列を選ぶことです（下記参照）。
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少し待って。直交配列とは
直交配列はシンボルの行列で、ここでは「+」と「 - 」です。列の各ペアには、「+ +」、「+ - 」、「 - +」、および「 - - 」の4つのシンボルペアしかありません。直交配列であるためには、シンボルの各対は、列の各対において等しく頻繁に出現しなければならない。上記の配列では、4対のシンボルのそれぞれが、253対の列のそれぞれに6回出現します。
直交配列は実験計画の分野において歴史的に重要な意味を持ちます。コンピュータの出現まで、事実上すべての実験デザインは直交配列を使用していました。初期の開業医が直交配列に注目したのには、主に2つの理由があります。まず、任意の因子を変更した場合の効果を計算するのは簡単です。因子の+レベルで実行した試行に対するすべての応答の平均を求め、- 因子のレベルで実行した試行に対するすべての応答の平均を差し引きます。第二に、ある要因の推定効果は他の要因の推定効果から統計的に独立しています。
直交配列が非常に優れている場合、他に何か使用するのはなぜですか？
直交配列は非常に便利ですが、特定の試行回数に対してのみ存在します。たとえば、各列に2つのシンボルを持つ直交配列は、試行回数が4の倍数の場合にのみ存在します。すべての因子に2つのレベルがある場合、15行の直交配列は存在しません。
より重要なのは、直交配列内の各因子の主な効果は独立していますが、2因子相互作用はそうではないかもしれないという事実です。Dougと私が示した例では、6つの主な効果と15の2因子相互作用の両方を推定できるようにしたいと考えました。全体の平均を含めると、22個の未知数が推定されます。実行が24回あるため、通常の最小二乗法を使用してこの22項モデルに適合させることは可能です。
このモデルに合うようにPlackett-Burman設計から6つの柱を選択できますか？
どの6列を使用するかによって異なります。23個の列から6個の列を選ぶことができる100,947の方法があります。それらのうち、半分以上は二因子相互作用モデルを当てはめることができません。もちろん、6つの列を選択する方法は49,588あります。行うすべての2因子相互作用を当てはめることができます。選択した6列のグループに応じて、係数推定値の平均分散は> 28の係数で変わる可能性があります。つまり、6列設計の場合、最も望ましくない選択は最も望ましい選択よりも28倍悪い係数を推定します。したがって、上記の配列から6列を選択してデザインを構築するには、細心の注意を払う必要があります。
より良い他の直交設計の選択はありますか？
私の同僚であるアントワープ大学のEric Schoen博士にここで助けを求めました。Ericは直交デザインの世界的に有名な研究者です。彼は、6列24行の統計的に異なるすべての直交配列のカタログを作成しました。そのうち1,350個しかないことがわかりました。そのため、Plackett-Burmanデザインの23列から6列の選択肢のほとんどは一意ではありませんでした。また、それらは網羅的なものではありません。Ericの直交配列のうち20個が、Plackett-Burman設計の6列の選択よりも優れていることがわかりました。これらのうちの最良のものは、私が以前に見つけた最良の直交配列よりも約8％優れていました。1,350の固有直交配列のうち447のみがモデルに適合します。
あなたは興味のあるすべての効果を推定することでもっとうまくやることができますか？
答えはイエスですが、直交配列を使用しない場合に限ります。カスタムデザイナーを使用してD最適デザインを作成しました。 JMP 。表1は、最適直交配列と比較した、D最適計画に対する分散インフレ率（VIF）の比較を示しています。
すべての主効果と2因子相互作用のVIFは、直交配列のうち最良のものよりもD最適設計の方が低い（良い）ことに注意してください。
肝心な点 - 直交配列だけを考えて制限することはしないでください。
多くの研究者は彼らの実験を計画するときに直交配列を考慮するだけです。ウェビナーからの例が示すように、この制限は高額になります。
最良の直交配列を見つけるには、実際にはD最適計画を見つけるよりも実験計画の専門知識とコンピューティングが必要であり、結果として得られる計画は統計的に劣っていました。
