L'8 febbraio, il mio collega, il professor Douglas Montgomery della Arizona State University, e io abbiamo presentato un webinar per l'American Statistical Association. La nostra prima dimostrazione riguardava la progettazione di un esperimento per sei fattori ciascuno con due livelli in 24 esecuzioni. Un modo naturale per costruire un tale progetto sarebbe quello di scegliere sei colonne dall'array ortogonale scoperte da Plackett e Burman, che ha 24 righe e 23 colonne (vedi sotto).
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Aspetta un secondo. Cos'è un array ortogonale?
Un array ortogonale è una matrice di simboli, nel nostro caso "+" e "-". In ogni coppia di colonne ci sono solo quattro possibili coppie di simboli: "+ +", "+ -", "- +" e "- -". Per essere una matrice ortogonale, ogni coppia di simboli deve comparire ugualmente spesso in ogni coppia di colonne. Nell'array sopra, ciascuna delle quattro coppie di simboli appare sei volte in ognuna delle 253 coppie di colonne.
Gli array ortogonali hanno un grande significato storico nel campo della progettazione dell'esperimento. Fino all'avvento dei computer, praticamente ogni progetto di esperimento utilizzava un array ortogonale. Ci sono due ragioni principali per cui i primi professionisti si sono concentrati sugli array ortogonali. Innanzitutto, è facile calcolare l'effetto di modificare qualsiasi fattore: basta calcolare la media di tutte le risposte per le prove eseguite al livello + del fattore e sottrarre la media di tutte le risposte per le prove eseguite al livello - del fattore. In secondo luogo, l'effetto stimato di qualsiasi fattore è statisticamente indipendente dall'effetto stimato di qualsiasi altro fattore.
Se gli array ortogonali sono così grandi, perché usare qualcos'altro?
Gli array ortogonali sono molto utili, ma esistono solo per determinati numeri di prove. Ad esempio, gli array ortogonali con due simboli in ogni colonna esistono solo quando il numero di prove è un multiplo di quattro. Se tutti i fattori hanno due livelli, non esiste un array ortogonale con 15 righe.
Più importante è il fatto che, sebbene gli effetti principali di ciascun fattore in un array ortogonale siano indipendenti, le interazioni a due fattori potrebbero non esserlo. Nell'esempio presentato da Doug e I, volevamo essere in grado di stimare sia i sei effetti principali che le 15 interazioni a due fattori. Se includi la media generale, ci sono 22 quantità sconosciute che vogliamo stimare. Poiché ci sono 24 corse, sembra possibile adattare questo modello a 22 termini usando i minimi quadrati ordinari.
Puoi scegliere sei colonne dal design Plackett-Burman per adattarle a questo modello?
Dipende da quali sei colonne usi. Ci sono 100,947 modi per scegliere sei colonne tra le 23. Di questi, più della metà non sono in grado di adattare il modello delle interazioni a due fattori. Certo, ci sono 49.588 modi di scegliere le sei colonne fare consente di adattare tutte le interazioni a due fattori. A seconda del gruppo di sei colonne scelto, la varianza media delle stime del coefficiente può variare di un fattore> 28. Cioè, per il design a sei colonne, la scelta meno desiderabile stima i coefficienti 28 volte peggiori rispetto alla scelta più desiderabile. Quindi, per costruire il tuo progetto scegliendo sei colonne dall'array sopra, devi stare molto attento.
Ci sono altre scelte progettuali ortogonali che sono migliori?
Qui ho chiesto aiuto al mio collega, il dott. Eric Schoen dell'Università di Anversa. Eric è un ricercatore di fama mondiale nel design ortogonale. Ha costruito un catalogo di tutti gli array ortogonali statisticamente diversi con sei colonne e 24 righe. Si scopre che ci sono solo 1.350 di loro. Quindi, la maggior parte delle sei colonne scelte dalle 23 colonne del progetto Plackett-Burman non erano uniche. Inoltre, non sono esaustivi. Risulta che 20 degli array ortogonali di Eric erano migliori di qualsiasi delle sei colonne scelte dal design di Plackett-Burman. Il migliore di questi era circa l'8% migliore rispetto al miglior array ortogonale che ho trovato in precedenza. Solo 447 dei 1.350 allineamenti ortogonali unici potrebbero adattarsi al modello.
Puoi fare meglio a stimare tutti gli effetti di interesse?
La risposta è sì ma solo se non si utilizza un array ortogonale! Ho costruito un design D-ottimale usando il Custom Designer in JMP . La tabella 1 mostra il confronto tra i fattori di inflazione della varianza (VIF) per la progettazione D-ottimale rispetto alla migliore matrice ortogonale.
Si noti che il VIF per ogni effetto principale e l'interazione a due fattori è inferiore (migliore) per il design D-ottimale rispetto al migliore degli array ortogonali.
La linea di fondo - non limitarti solo considerando matrici ortogonali.
Molti investigatori considerano solo gli array ortogonali quando pianificano i loro esperimenti. Questa restrizione ha un prezzo come mostra l'esempio del webinar.
La ricerca della migliore matrice ortogonale richiedeva effettivamente più esperienza nella progettazione di esperimenti e più informatica rispetto alla ricerca del design ottimale D, e il design risultante era statisticamente inferiore.
