Am 8. Februar präsentierten mein Kollege Professor Douglas Montgomery von der Arizona State University und ich ein Webinar für die American Statistical Association. Unsere erste Demonstration beschäftigte sich mit dem Entwurf eines Experiments für sechs Faktoren mit jeweils zwei Stufen in 24 Durchläufen. Ein natürlicher Weg, ein solches Design zu erstellen, wäre die Auswahl von sechs Spalten aus dem von Plackett und Burman entdeckten orthogonalen Array, das 24 Zeilen und 23 Spalten aufweist (siehe unten).
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Warte eine Sekunde. Was ist ein orthogonales Array?
Ein orthogonales Array ist eine Matrix von Symbolen, in unserem Fall „+“ und „-“. In jedem Spaltenpaar gibt es nur vier mögliche Symbolpaare: "+ +", "+ -", "- +" und "- -". Um ein orthogonales Array zu sein, muss jedes Symbolpaar in jedem Spaltenpaar gleich häufig vorkommen. In der obigen Anordnung erscheint jedes der vier Symbolpaare sechs Mal in jedem der 253 Spaltenpaare.
Orthogonale Arrays haben im Bereich der Versuchsplanung eine große historische Bedeutung. Bis zum Aufkommen von Computern verwendete praktisch jedes Experimentdesign ein orthogonales Array. Es gibt zwei Hauptgründe, warum sich die ersten Praktizierenden auf orthogonale Arrays konzentrierten. Erstens ist es einfach, die Auswirkung einer Änderung eines Faktors zu berechnen. Sie mitteln lediglich alle Antworten für Tests, die auf der + -Ebene des Faktors ausgeführt werden, und subtrahieren den Durchschnitt aller Antworten für Tests, die auf der - Ebene des Faktors laufen. Zweitens ist der geschätzte Effekt eines Faktors statistisch unabhängig von dem geschätzten Effekt eines anderen Faktors.
Wenn orthogonale Arrays so groß sind, warum dann etwas anderes verwenden?
Orthogonale Arrays sind sehr nützlich, sie existieren jedoch nur für eine bestimmte Anzahl von Studien. Beispielsweise existieren orthogonale Arrays mit zwei Symbolen in jeder Spalte nur, wenn die Anzahl der Versuche ein Vielfaches von vier ist. Wenn alle Faktoren zwei Ebenen haben, ist kein orthogonales Array mit 15 Zeilen vorhanden.
Wichtiger ist die Tatsache, dass obwohl die Hauptwirkungen jedes Faktors in einem orthogonalen Array unabhängig sind, die Zwei-Faktor-Wechselwirkungen möglicherweise nicht sind. In dem von Doug und mir vorgestellten Beispiel wollten wir sowohl die sechs Haupteffekte als auch die 15 Zwei-Faktor-Wechselwirkungen abschätzen können. Wenn Sie den Gesamtdurchschnitt angeben, gibt es 22 unbekannte Größen, die wir schätzen möchten. Da es 24 Läufe gibt, scheint es möglich, dieses 22-Term-Modell unter Verwendung gewöhnlicher kleinster Quadrate anzupassen.
Können Sie aus dem Plackett-Burman-Design sechs Säulen auswählen, die zu diesem Modell passen?
Es hängt davon ab, welche sechs Spalten Sie verwenden. Es gibt 100.947 Möglichkeiten, sechs Spalten aus den 23 Spalten auszuwählen. Von diesen ist mehr als die Hälfte nicht in der Lage, das Zwei-Faktoren-Wechselwirkungsmodell zu berücksichtigen. Natürlich gibt es 49.588 Möglichkeiten, die sechs Spalten auszuwählen tun alle zwei-Faktor-Wechselwirkungen anpassen. Abhängig davon, welche Gruppe von sechs Spalten Sie auswählen, kann die durchschnittliche Varianz der Koeffizientenschätzungen um einen Faktor von> 28 variieren. Das heißt, für das Design mit sechs Spalten schätzt die am wenigsten wünschenswerte Wahl die Koeffizienten 28 mal schlechter als die wünschenswerteste Wahl. Um Ihr Design zu erstellen, indem Sie sechs Spalten aus dem obigen Array auswählen, müssen Sie sehr vorsichtig sein.
Gibt es andere orthogonale Designoptionen, die besser sind?
Ich habe meinen Kollegen, Dr. Eric Schoen von der Universität Antwerpen, um Hilfe gebeten. Eric ist ein weltbekannter Forscher im Bereich orthogonales Design. Er hat einen Katalog aller statistisch unterschiedlichen orthogonalen Arrays mit sechs Spalten und 24 Zeilen erstellt. Es stellt sich heraus, dass es nur 1.350 von ihnen gibt. Daher waren die meisten der sechs Spalten der 23 Spalten des Plackett-Burman-Designs nicht eindeutig. Sie sind auch nicht erschöpfend. Es stellte sich heraus, dass 20 von Erics orthogonalen Arrays besser waren als alle sechs Säulen des Plackett-Burman-Designs. Das Beste davon war etwa 8% besser als das beste orthogonale Array, das ich zuvor gefunden hatte. Nur 447 der 1.350 einzigartigen orthogonalen Arrays könnten in das Modell passen.
Können Sie besser alle Auswirkungen von Interesse abschätzen?
Die Antwort lautet ja, aber nur, wenn Sie kein orthogonales Array verwenden! Ich habe ein D-optimales Design mit dem Custom Designer in erstellt JMP . Tabelle 1 zeigt den Vergleich der Varianzinflationsfaktoren (VIF) für das D-optimale Design im Vergleich zur besten orthogonalen Anordnung.
Beachten Sie, dass die VIF für jeden Haupteffekt und die Zwei-Faktor-Wechselwirkung für das D-optimale Design niedriger (besser) ist als für die besten orthogonalen Arrays.
Fazit: Beschränken Sie sich nicht, indem Sie nur orthogonale Arrays berücksichtigen.
Viele Forscher berücksichtigen bei der Planung ihrer Experimente nur orthogonale Arrays. Diese Einschränkung hat einen Preis, wie das Beispiel aus dem Webinar zeigt.
Das Finden des besten orthogonalen Arrays erforderte tatsächlich mehr Erfahrung im Experimentierdesign und mehr Berechnungen als das Finden des D-optimalen Designs, und das resultierende Design war statistisch schlechter.
