Le 8 février, mon collègue, le professeur Douglas Montgomery de l'Arizona State University, et moi avons présenté un webinaire pour l'American Statistical Association. Notre première démonstration a consisté à concevoir une expérience pour six facteurs ayant chacun deux niveaux sur 24 cycles. Un moyen naturel de construire une telle conception serait de choisir six colonnes dans le tableau orthogonal découvert par Plackett et Burman, qui comporte 24 lignes et 23 colonnes (voir ci-dessous).
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Attends une seconde. Qu'est-ce qu'un tableau orthogonal?
Un tableau orthogonal est une matrice de symboles, dans notre cas “+” et “-“. Dans chaque paire de colonnes, il n'y a que quatre paires de symboles possibles: “+ +”, “+ -“, ”- +” et “- -“. Pour être un tableau orthogonal, chaque paire de symboles doit apparaître aussi souvent dans chaque paire de colonnes. Dans le tableau ci-dessus, chacune des quatre paires de symboles apparaît six fois dans chacune des 253 paires de colonnes.
Les réseaux orthogonaux ont une grande importance historique dans le domaine de la conception expérimentale. Jusqu'à l'avènement des ordinateurs, pratiquement toutes les conceptions expérimentales utilisaient un tableau orthogonal. Il y a deux raisons principales pour lesquelles les premiers praticiens se sont concentrés sur les tableaux orthogonaux. Premièrement, il est facile de calculer l’effet de la modification d’un facteur - il suffit de faire la moyenne de toutes les réponses pour les essais exécutés au niveau + du facteur et de soustraire la moyenne de toutes les réponses pour les essais exécutés au - niveau du facteur. Deuxièmement, l'effet estimé de tout facteur est statistiquement indépendant de l'effet estimé de tout autre facteur.
Si les tableaux orthogonaux sont si bons, pourquoi utiliser autre chose?
Les tableaux orthogonaux sont très utiles, mais ils n'existent que pour un certain nombre d'essais. Par exemple, les tableaux orthogonaux comportant deux symboles dans chaque colonne n'existent que lorsque le nombre d'essais est un multiple de quatre. Si tous les facteurs ont deux niveaux, il n’existe pas de tableau orthogonal à 15 lignes.
Le plus important est le fait que, bien que les effets principaux de chaque facteur d’un tableau orthogonal soient indépendants, les interactions à deux facteurs peuvent ne pas l’être. Dans l'exemple que Doug et moi avons présenté, nous voulions pouvoir estimer à la fois les six effets principaux et les 15 interactions à deux facteurs. Si vous incluez la moyenne générale, il y a 22 quantités inconnues que nous voulons estimer. Puisqu'il y a 24 suites, il semble possible d'adapter ce modèle de 22 termes en utilisant les moindres carrés ordinaires.
Pouvez-vous choisir six colonnes du modèle Plackett-Burman pour ce modèle?
Cela dépend des six colonnes que vous utilisez. Il y a 100 947 façons de sélectionner six colonnes sur 23. Parmi ceux-ci, plus de la moitié sont incapables d’adapter le modèle d’interaction à deux facteurs. Bien sûr, il existe 49 588 façons de choisir les six colonnes faire permettre l’adaptation de toutes les interactions à deux facteurs. En fonction du groupe de six colonnes choisi, la variance moyenne des estimations de coefficients peut varier d'un facteur supérieur à 28. Autrement dit, pour le modèle à six colonnes, le choix le moins souhaitable estime les coefficients 28 fois moins bons que le choix le plus souhaitable. Donc, pour construire votre conception en choisissant six colonnes du tableau ci-dessus, vous devez être très prudent.
Existe-t-il d'autres choix de conception orthogonale qui sont meilleurs?
J'ai demandé l'aide de mon collègue, le Dr Eric Schoen de l'Université d'Anvers, ici. Eric est un chercheur de renommée mondiale en design orthogonal. Il a construit un catalogue de tous les tableaux orthogonaux statistiquement différents comportant six colonnes et 24 lignes. Il s'avère qu'il n'y en a que 1 350. Ainsi, la plupart des choix de six colonnes parmi les 23 colonnes de la conception de Plackett-Burman n'étaient pas uniques. En outre, ils ne sont pas exhaustifs. Il s’avère que 20 des tableaux orthogonaux d’Eric étaient supérieurs à tous les choix de colonnes de la conception de Plackett-Burman. Le meilleur de ceux-ci était environ 8% meilleur que le meilleur tableau orthogonal que j'ai trouvé précédemment. Seuls 447 des 1 350 tableaux orthogonaux uniques pourraient correspondre au modèle.
Pouvez-vous faire mieux pour estimer tous les effets d’intérêt?
La réponse est oui, mais seulement si vous n'utilisez pas de tableau orthogonal! J'ai construit un design D-optimal en utilisant le concepteur personnalisé dans JMP . Le tableau 1 montre la comparaison des facteurs d'inflation de la variance (VIF) pour la conception optimale D par rapport au meilleur réseau orthogonal.
Notez que le VIF pour chaque effet principal et chaque interaction à deux facteurs est inférieur (meilleur) pour la conception D-optimale que pour le meilleur des tableaux orthogonaux.
La ligne du bas - ne vous limitez pas vous-même en ne considérant que les tableaux orthogonaux.
De nombreux chercheurs considèrent uniquement les tableaux orthogonaux lors de la planification de leurs expériences. Cette restriction a un prix, comme le montre l'exemple du webinaire.
Pour trouver le meilleur réseau orthogonal, il fallait en réalité plus de connaissances en conception d’expériences et en informatique que de recherche de la conception D-optimale. La conception résultante était statistiquement inférieure.
