2月8日，我的同事，亞利桑那州立大學的Douglas Montgomery教授和我為美國統計協會舉辦了一次網絡研討會。我們的第一個演示涉及設計六個因子的實驗，每個因素在24次運行中有兩個級別。構建這種設計的一種自然方法是從Plackett和Burman發現的正交陣列中選擇六列，其中有24行和23列（見下文）。
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等一下。什麼是正交數組？
正交數組是符號矩陣，在我們的例子中是“+”和“ - ”。在每對列中，只有四對可能的符號對：“+ +”，“+ - ”，“ - +”和“ - - ”。為了成為正交陣列，每對符號必須在每對列中同等地出現。在上述陣列中，四對符號中的每一對在253對列中的每一列中出現六次。
正交陣列在實驗設計領域具有重要的歷史意義。在計算機出現之前，幾乎每個實驗設計都使用正交陣列。早期從業者關注正交陣列有兩個主要原因。首先，很容易計算出改變任何因子的影響 - 您只需將因子的+級別的所有響應平均值進行平均，然後減去因子級別的所有響應的平均值。其次，任何因素的估計影響在統計上與任何其他因素的估計影響無關。
如果正交數組是如此之大，為什麼要使用其他東西呢？
正交數組非常有用，但它們僅存在於特定數量的試驗中。例如，當試驗次數是四的倍數時，僅存在每列中具有兩個符號的正交陣列。如果所有因子都有兩個級別，則不存在具有15行的正交數組。
更重要的是，雖然正交陣列中每個因素的主要影響是獨立的，但雙因素相互作用可能不是。在Doug和我提出的例子中，我們希望能夠估計六個主要影響以及15個雙因素交互。如果包括總體平均值，則我們要估算22個未知數量。由於有24次運行，似乎可以使用普通最小二乘擬合這個22項模型。
你能從Plackett-Burman設計中選擇六列來適應這個模型嗎？
這取決於您使用的六列。有23,900種方法可以從23種中選出6列。其中，超過一半的人無法擬合雙因素相互作用模型。當然，有49,588種方法可以選擇六列做允許擬合所有雙因素相互作用。根據您選擇的六列中的哪一組，係數估計值的平均方差可以變化> 28。也就是說，對於六列設計，最不理想的選擇估計係數比最期望的選擇差28倍。因此，要通過從上面的數組中選擇六列來構建您的設計，您必須非常小心。
還有其他正交設計選擇更好嗎？
我問我的同事，安特衛普大學的Eric Schoen博士，在這裡尋求幫助。Eric是世界著名的正交設計研究員。他構建了一個包含六列和24行的所有統計上不同的正交數組的目錄。事實證明，它們只有1,350個。因此，Plackett-Burman設計的23列中的大多數六列選擇都是非獨特的。而且，它們並非詳盡無遺。事實證明，Eric的正交陣列中有20個比Plackett-Burman設計的六個柱子中的任何一個都要好。其中最好的比我之前發現的最佳正交陣列好大約8％。1,350個獨特正交陣列中只有447個可以適合該模型。
你能更好地估計所有感興趣的影響嗎？
答案是肯定的，但前提是你不使用正交數組！我使用自定義設計器構建了一個D優化設計 JMP 。表1顯示了D-最優設計與最佳正交陣列相比的方差膨脹因子（VIF）的比較。
注意，對於D-最優設計，每個主效應和雙因素相互作用的VIF低於（更好），而不是最佳正交陣列。
底線 - 不要僅考慮正交數組來限制自己。
許多研究人員在計劃實驗時只考慮正交陣列。如網絡研討會的例子所示，這種限制是有代價的。
找到最佳正交陣列實際上需要更多的實驗設計專業知識和更多的計算，而不是找到D-優化設計，並且所得到的設計在統計上是較差的。
