내 안에 이전 게시물 Lord 's Paradox (1967)에서, 나는 동일한 데이터에 맞을지라도 두 모델이 어떻게 반대 통계적 추론으로 이어질 수 있는지를 보여 주었다. 이 모델은 공분산 (ANCOVA) 분석과 티 두 번의 반복 된 측정 데이터로 계산 된 차이 점수를 테스트합니다. 이 포스트에서, 저는 이전 예제를 세 번째 모델에 대해 자세히 설명합니다 : 선형 혼합 효과 (LME) 모델 .
가설적인 예제의 데이터가 어떻게 보이는지와 ANCOVA의 주요 결과를 티 ~에 시험하다 JMP (전체 결과를 보려면 내 이전 게시물 ) :
그림 1. 두 가지 경우 데이터의 스파게티 플롯 및 이전 게시물의 결과 요약.
ANCOVA 모델은 두 번째 경우의 고객 만족도에서 경쟁사의 제품을 사용하는 상당한 효과가 있음을 시사합니다 (일부는 "잔여"고객 만족도 변화에 대해 경쟁사의 제품을 사용하는 효과라고도합니다) . 그만큼 티 반면에, 테스트는 고객 만족도가 시간 경과에 따라 고객의 제품을 사용하던 사람과 사용하지 않은 사람 사이에서 어떻게 변했는지에 차이가 없음을 시사합니다.
선형 혼합 효과 모델 사용
서로 다른 모델이 데이터에 대해 서로 다른 가정을하고 있음을 알면 LME 모델을 데이터에 적용하면 어떤 일이 벌어 질지 궁금 할 수 있습니다. 실제로 많은 분야에서 LME 모델을 계층 적 또는 중첩 구조 (예 : 개인 내에 중첩 된 반복 측정)로 데이터를 모델링하는 최첨단 접근 방식으로 인식합니다. 여기서 LME 모델은 시간 경과에 따른 고객 만족도와 주요 예측 변수의 효과에 대한 절편과 기울기 (즉, 변경)를 추정하는 데 사용할 수 있습니다. 행운을 빕니다 - 당신은 두 가지 경우에만 데이터를 기억! - 절편과 기울기의 무작위 효과를 추정 할 수도 있습니다. 즉, 고객이 평균 궤도에서 어떻게 벗어 났는지 추정합니다.
원래 데이터는 일부 조작이 필요하므로 LME 모델 (이 게시물에서 데이터 파일을 다운로드하려면 아래로 스크롤하십시오.이 게시물에는 아래의 모든 LME 모델 용 스크립트가 포함되어 있습니다)이 준비되어 있습니다. 빨리 살펴 보겠습니다.
그림 2. 긴 형식으로 조작 한 후 시뮬레이션 된 데이터. 이제 데이터에는 고객 만족도 변수 1 개와 평가 시간 (0 = 시간 1 및 1 = 시간 2)을 나타내는 시간 변수가 있습니다. 당신은 모델 플랫폼에 맞추기 ...에서 JMP JMP에서 혼합 모델 특성을 사용하여 고객 만족을위한 "무조건적인"모델에 맞 춥니 다. (힌트 : 0은 이미 우리 예측 변수의 의미있는 값을 나타 내기 때문에 다항식을 중립으로하는 옵션을 해제하고 빨간색 삼각형 메뉴에서이 옵션을 선택하여 표시기 매개 변수화를 얻습니다. ). 이것은 시간이 지남에 따라 고객 만족 궤도를 특성화하는 데만 초점을 둔 모델입니다.
그림 3. 절편과 시간의 무작위 효과가 공분산되는 무조건 LME 모델의 결과.
Residual과 관련된 표준 오류가 없음을 유의하십시오. 우리가 데이터에서 너무 많은 것을 요구하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다! 우리의 데이터에는 이러한 많은 무작위 효과를 추정하기에 충분한 정보가 없습니다. 모델을 적절히 식별하는 한 가지 해결책은 절편과 시간 (이 경우 0 임) 간의 공분산을 제거하는 것입니다.
그림 4. 절편과 시간의 무작위 효과의 공분산을 제외한 무조건 LME 모델의 결과.
이 무조건 모델은 고려중인 프로세스에 대한 유용한 정보를 제공합니다. 시간이 0/1로 코드화되었으므로 Intercept의 중요한 고정 효과는 고객이 0과 크게 다른 첫 번째 측정에서 평균 만족도가 4.04임을 시사합니다 그림 5 참조). 고객 ID의 중요한 임의 효과 (이것은 가로 채기에 대한 분산 또는 임의 효과 임)가 주어지면 고객은이 평균값에서 크게 벗어나는 것이 중요합니다. 또한, 시간의 유의하지 않은 고정 효과와 무작위 효과는 두 번째 평가에서 평균 고객 만족도 점수가 변경되지 않으며 모든 고객에게 해당된다는 것을 의미합니다. 이 모델은 고객 만족에 관한 것일 뿐이므로 여기에 묘사 된 것을 모델링합니다.
그림 5. 웅대 한 평균 탄도가 겹쳐진 개별 고객 만족 궤적의 스파게티 플롯.
고객 만족 궤적을 더 잘 이해하면 관리자가 제기 한 원래의 질문으로 돌아갈 수 있습니다. 시간이 지남에 따라 고객의 만족도가 어떻게 변했는지 경쟁 제품을 사용한 결과가 있습니까? 글쎄, 우리는 이미 고객 만족도가 시간에 따라 변하지 않았 음을 알고 있으므로 여기에서 멈추도록 선택할 수도 있지만 "조건부"LME 모델의 결과를 탐색하면 새로운 것을 발견 할 수 있습니다. 즉, 관심있는 주요 예측 변수가 모델의 예측 변수로 입력되는 것입니다.
그림 6. 시간 경과에 따른 고객 만족의 조건부 LME 모델 및 그룹화 예측 자.
이전과 마찬가지로 요격과 시간의 공분산을 배제했습니다. 두 번의 측정만으로 이러한 효과를 추정 할 수있는 충분한 정보를 제공하지 못했기 때문에 Intercept와 Time의 공분산을 제외 시켰습니다. 이는 중요한 요점이 될 수 있습니다.
우리의 조건부 LME 모델 결과는 주님의 역설을 밝혀 주며 큰 그림을 이해하도록 도와줍니다.
조건부 LME 모델의 결과 해석
첫째, 무작위 효과 중 어느 것도 중요하지 않으므로 고정 효과의 추정치가 우리 고객 전체를 특징으로한다는 것을 암시합니다. 둘째, 가로 채기 및 키 그룹화 예측자가 중요합니다. Time은 0/1로 코드되어 있기 때문에 Intercept (3.54)는 경쟁 제품을 사용한 사람들에 대한 시간 1의 평균 고객 만족도를 나타냅니다 (그림 1의 스파게티 플롯의 빨간색 선과 일치 함). Time의 영향은 없으므로 경쟁 제품을 사용하는 사람들 중 평균 3.54 고객 만족도 점수는 1에서 2로 바뀌지 않았습니다. 주요 예측 변수 (그룹 변수)의 유의미한 효과는 경쟁 제품을 사용한 사람과 사용하지 않은 사람 사이에서 시간 1의 고객 만족도에서 1 단위의 중요한 차이를 나타냅니다. 즉, 경쟁 제품을 사용하지 않은 고객의 평균 고객 만족도는 4.54였습니다. 마지막으로 그룹화 변수와 시간의 중요한 상호 작용이 없다는 것은 경쟁 제품을 사용하지 않은 사람들에 대한 고객 만족도에서 시간에 따라 차이가 없음을 나타냅니다.
LME 모델은 데이터 패턴의 더 큰 그림을 제공하지만 이는 모델의 모델링 및 해석의 복잡성 증가를 초래합니다. ANCOVA 및 티 -테스트! 그래서 주님의 역설에 대한 몇 가지 요점과 우리가이 데이터에 적합한 3 가지 모델을 남겨 두겠습니다.
키 포인트
- ANCOVA 및 티 테스트 모델은 모순 된 추론을 초래했다. 데이터가 관측 적이기 때문에 (즉, 무작위 연구가 아닌) 관심있는 예측 자 (고객이 경쟁 업체의 제품을 사용했는지 여부)에 따라 기본 차이점이 있기 때문에 충돌하는 결론이 나왔습니다.
- 어떤 사람들은 ANCOVA 모델을 "잔여 변화"의 모델로 생각합니다. ANCOVA는 당신이 오는 데이터를 분석 할 때 적절합니다 하나 또는 관심있는 예언자에 대한 기준선 차이가없는 경우 (무작위 연구의 경우 일 수 있습니다).
- 그만큼 티 차이점에 대한 테스트는 사람 내 변화를 포착하지만 초기 수준 (예 : 고객 만족도)에 대한 정보는 포함하지 않습니다.
- 선형 혼합 효과 모델은 시간이 지남에 따라 펼쳐지는 프로세스를 특성화하는 데 유용합니다. 여기에서는 ANCOVA와 ANCOVA 사이의 모순 된 결과를 분명히했습니다. 티 -테스트. 그러나 시작 시점과 그 이후의 변화 사이의 연관성과 같은 프로세스의 일부 측면은 손실 될 수 있습니다. 이는 위의 LME 모델에서 가로 채기와 시간의 공분산으로 0으로 설정됩니다. 그러한 공분산이 0이 아닌 정도까지, 모델의 추정치는 편향 될 수 있습니다.
- 이와 관련하여 시간에 따라 변수가 어떻게 변하는가와 그 변화에 다른 변수가 미치는 영향에 관심이있을 때 적어도 세 번의 측정을 위해 노력하십시오. 이렇게하면 LME 모델에 적합하고 더 나은 특성을 파악할 수 있으며 관심의 효과를 평가할 수 있습니다.
- 주님의 역설은 복잡한 현상이며 연구자들은 모순되는 잠재적 인 추론을 가장 효과적으로 다루는 방법에 대해 서로 다른 견해를 가지고 있습니다. 이 주제에 대해 더 자세히 알기위한 좋은 자료는 van Breukelen (2013)입니다.
참고 문헌
Lord, FM (1967). 그룹 비교의 해석에서 역설. 심리적 게시판, 68, 304-305.
van Breukelen, GJP (2013). 무작위 배정 된 연구에서베이스 라인으로부터의 ANCOVA 대 CHANGE : 차이점. 다 변수 행동 연구, 48, 895-922.
