私の中で前の投稿 Lord's Paradox（1967）では、2つのモデルが同じデータに当てはめられたとしても、反対の統計的推論につながる可能性があることを示しました。これらのモデルは共分散分析（ANCOVA）とトン - データの2つの反復測定から計算された差異スコアでテストします。この記事では、3番目のモデルについて説明することによって、前の例について詳しく説明します。線形混合効果（LME）モデル 。
仮説の例のデータがどのように見えるか、そしてANCOVAとANCOVAの主な結果から思い出してください。トン - テストイン JMP （完全な結果については私の記事を参照してください。前の投稿 ）：
図1。2回分のデータのスパゲッティプロットと前回の記事の結果の要約。
ANCOVAモデルは、時間1で顧客満足度をコントロールしながら、2回目の顧客満足度に競合他社の製品を使用したことによる重大な影響があることを示唆しています。。のトン一方、-testでは、競合他社の製品を使用したことのある人と使用しなかった人の間で、顧客満足度の経時的な変化に違いがないことを示唆しています。
線形混合効果モデルの使用
モデルによってデータに関する仮定が異なることを知っているので、LMEモデルをデータに適合させるとどうなるか疑問に思うかもしれません。実際、多くの分野では、LMEモデルを階層構造または入れ子構造でデータをモデル化するための最先端のアプローチとして認識しています（たとえば、個人内で入れ子になった繰り返し測定）。ここでは、LMEモデルを使用して、時間経過に伴う顧客満足度の切片と傾き（つまり変化）と、それらに対する重要な予測値の影響を推定できます。運が良ければ - データは2回しかないことを忘れないでください。- 切片と勾配に対する変量効果も推定できるかもしれません。つまり、顧客が平均軌道からどのように逸脱しているかの推定値です。
元のデータは操作が必要なので、LMEモデルの準備ができています（この記事からデータファイルをダウンロードするには、下にスクロールしてください。これには、以下のすべてのLMEモデルのスクリプトが含まれます）。簡単に見てみましょう。
図2 長い形式に操作した後のシミュレーションデータ。データには、1つの顧客満足度変数と、評価の時間を示す時間変数があります（0 =時間1、1 =時間2）。あなたが使用することができますフィットモデルプラットフォームに JMP JMPの混合モデルパーソナリティを使用して、顧客満足度の「無条件」モデルに適合させる（ヒント：0は既に予測変数の意味のある値を表しているため、多項式を中心にするオプションをオフにします。） これは、長期にわたる顧客満足度の軌跡を特徴付けることだけに焦点を当てたモデルです。
図3 切片と時間の変量効果の共分散を持つ無条件LMEモデルの結果。
残差に関連する標準エラーがないことに注意してください。私たちがデータからあまりに多くを求めているので、これは驚くべきことではありません！私たちのデータには、この多くのランダム効果を推定するのに十分な情報がありません。モデルを正しく識別するための1つの解決策は、この場合はゼロであるInterceptとTimeの間の共分散を排除することです。
図4 切片と時間の変量効果の共分散を除外した無条件LMEモデルの結果。
この無条件モデルは、検討中のプロセスに関する有用な情報を提供します。Timeは0/1とコード化されているため、Interceptの有意な固定効果は、顧客が最初の測定で平均満足度4.04をゼロとは異なることを示唆します。図5を参照してください。重要なことに、顧客IDの著しいランダム効果（これは切片に対する分散またはランダム効果です）を考えると、顧客はこの平均値から大きく逸脱しています。さらに、時間の有意でない固定的かつランダムな効果は、平均顧客満足度スコアが2回目の評価時に変化しないことを示唆しており、これはすべての顧客に当てはまります。このモデルは顧客満足度に関するものであるため、基本的にここに示されているものをモデル化しています。
図5 総平均軌跡を重ね合わせた個々の顧客満足度軌跡のスパゲッティプロット。
顧客満足の軌跡をより深く理解した上で、上司から寄せられた最初の質問に戻ることができます。顧客の満足が時間とともにどのように変化したかに競合他社の製品を使用したことによる影響はありますか？顧客満足度は時間の経過とともに変化しないことをすでに知っているので、ここでやめることを選ぶかもしれませんが、「条件付き」LMEモデルの結果を検討すれば、新しいことが見つかるかもしれません。つまり、モデルの予測変数として、重要な予測変数が入力されています。
図6 長期にわたる顧客満足度の条件付きLMEモデルとグループ化予測
これまでのように、InterceptとTimeの間の共分散は除外しました。2回の測定だけではそのような影響を推定するのに十分な情報が得られないためです。これは重要な意味合いです。
私たちの条件付きLMEモデルの結果は主のパラドックスに光を当て、私たちが全体像を理解するのに役立ちます。
条件付きLMEモデルの結果の解釈
まず、変量効果のどれも重要ではなく、固定効果の推定値が私たちの全顧客集団を特徴付けることを示唆しています。第二に、傍受とキーグループ化予測が重要です。Timeは0/1とコーディングされているので、3.54という切片は、競合他社の製品を使用した人の時間1での平均顧客満足度スコアを表します（これは、図1のスパゲッティプロットの赤い線と一致しています）。時間の影響はないので、競合他社の製品を使用した人の平均満足度3.54は、時間1から時間2まで変わりませんでした。重要な予測値（グループ化変数）の有意な効果は、競合他社の製品を使用した人と使用しなかった人の間で、時間1の顧客満足度に1単位の有意差があることを示しています。つまり、競合他社の製品を使用していない人の平均顧客満足度スコアは約4.54でした。最後に、時間とグループ化変数との有意な相互作用がないことは、競合他社の製品を使用していない人にとって、顧客満足度に経時的に検出可能な違いがないことを示しています。
LMEモデルは私たちのデータのパターンのより大きな全体像を私たちに提供しますが、これはモデルのモデル化と解釈における複雑さの増加という犠牲を払います - 確かにANCOVAと比較したときトン -テスト！それで、主のパラドックスとこれらのデータに当てはまる3つのモデルについての重要なポイントをいくつか残しておきます。
キーポイント
- ANCOVAとトン検定モデルは矛盾する推論をもたらした。矛盾する結論は、データが観察的であり（すなわち、無作為化されていない研究から得られ）、興味の予測因子（顧客が競合他社の製品を使用したかどうか）にベースラインの違いがあるために生じました。
- ANCOVAモデルを「残差の変化」のモデルと考える人もいます。ANCOVAは、から来るデータを分析するときに適しています。 1 母集団、または興味のある予測因子にベースラインの差異がない場合（これはおそらく無作為化試験の場合です）。
- のトン差分スコアでの-testは個人内の変化を捉えますが、あなたの構成の初期レベルについての情報（例えば顧客満足度）を含むことはできません。
- 線形混合効果モデルは、時間の経過とともに展開するプロセスを特徴付けるのに便利です。ここでは、ANCOVAとANCOVAの間の一見矛盾する結果を明らかにした。トン -テスト。しかし、たった2つの時点では、開始点とそれに続く変更との間の関連など、プロセスのいくつかの側面が失われる可能性があります。このような共分散がゼロ以外の場合、モデル内の推定値に偏りがある可能性があります。
- 関連して、ある変数が時間の経過とともにどのように変化するのか、およびその変化における他の変数の影響に関心がある場合は、少なくとも3回測定するようにしてください。これにより、LMEモデルに適合し、変化をよりよく評価し、そして関心のある効果を推定することができます。
- Lord's Paradoxは複雑な現象であり、研究者は潜在的な矛盾する推論を最もうまく処理する方法について異なる意見を持っています。このトピックについてさらに学ぶための良い情報源はvan Breukelen（2013）です。
参考文献
主、FM（1967）。集団比較の解釈におけるパラドックス 心理速報、68、 304-305
van Breukelen、GJP（2013）。無作為化されていない研究におけるベースラインからのANCOVA対CHANGE差。多変量行動研究、48、 895-922。
