In meinem vorherigen Post Zu Lord's Paradox (1967) zeigte ich, wie zwei Modelle, selbst wenn sie an dieselben Daten angepasst werden, zu gegensätzlichen statistischen Inferenzen führen können. Diese Modelle sind die Analyse der Kovarianz (ANCOVA) und der t -Test auf einen Differenzwert, der aus zwei wiederholten Datenmessungen berechnet wird. In diesem Beitrag gehe ich auf dieses vorherige Beispiel ein, indem ich ein drittes Modell bespreche: das Linear Mixed Effects (LME) Modell .
Beginnen wir mit dem Abrufen Ihrer Daten in unserem hypothetischen Beispiel und den wichtigsten Ergebnissen der ANCOVA und t -test in JMP (für die vollständigen Ergebnisse siehe meine vorherigen Post 
Abbildung 1. Spaghetti-Plot von Daten zu zwei Gelegenheiten und Zusammenfassung der Ergebnisse des vorherigen Postings.
Das ANCOVA-Modell weist darauf hin, dass es einen signifikanten Effekt hat, das Produkt eines Mitbewerbers bei der zweiten Kundenzufriedenheit verwendet zu haben, während die Kundenzufriedenheit zum Zeitpunkt 1 kontrolliert wird (einige nennen dies möglicherweise den Effekt, dass das Produkt des Mitbewerbers auf die „verbliebene“ Kundenzufriedenheitsänderung wirkt). . Das t -test hingegen legt nahe, dass es keine Unterschiede gibt, wie sich die Kundenzufriedenheit im Laufe der Zeit zwischen denen verändert hat, die das Produkt Ihres Konkurrenten verwendet haben und nicht verwendet haben.
Verwenden von linearen gemischten Effektmodellen
Wenn Sie wissen, dass verschiedene Modelle unterschiedliche Annahmen über die Daten treffen, fragen Sie sich vielleicht, was passiert, wenn Sie ein LME-Modell an Ihre Daten anpassen würden. Tatsächlich erkennen viele Felder LME-Modelle als den modernsten Ansatz zum Modellieren von Daten mit einer hierarchischen oder verschachtelten Struktur (z. B. wiederholte Messungen, die in Einzelpersonen verschachtelt sind). Hier kann das LME-Modell verwendet werden, um einen Abhang und eine Steigung (dh Änderung) für die Kundenzufriedenheit über die Zeit und die Auswirkung Ihres Schlüsselprädiktors auf sie zu schätzen. Mit etwas Glück haben Sie nur zwei Daten! - Sie können sogar zufällige Effekte für den Achsenabschnitt und die Steigung abschätzen. Das heißt, Schätzungen, wie Kunden von der durchschnittlichen Flugbahn abweichen.
Die Originaldaten müssen bearbeitet werden, damit sie für ein LME-Modell bereit sind (scrollen Sie nach unten, um die Datendatei von diesem Beitrag herunterzuladen, die Skripts für alle unten aufgeführten LME-Modelle enthält). Lass uns einen kurzen Blick darauf werfen:
Figur 2. Simulierte Daten nach Bearbeitung im Langformat. Die Daten haben jetzt eine Kundenzufriedenheitsvariable und eine Zeitvariable, die den Zeitpunkt der Bewertung angibt (0 = Zeit 1 und 1 = Zeit 2). Du kannst den ... benutzen Fit Model Plattform im JMP mit Mixed Model Personality in JMP zur Anpassung an ein "bedingungsloses" Modell für die Kundenzufriedenheit (Hinweis: Deaktivieren Sie die Option zum Zentrieren von Polynomen, da 0 bereits einen sinnvollen Wert unserer Prädiktoren darstellt, und erhalten Sie eine Indikatorparametrierung durch Auswahl dieser Option aus dem roten Dreieckmenü ). Dieses Modell konzentriert sich ausschließlich auf die Charakterisierung der Kundenzufriedenheitswege über die Zeit:
Figur 3. Ergebnisse des unbedingten LME-Modells mit Kovarianz zufälliger Auswirkungen von Intercept und Time.
Beachten Sie, dass dem Residual kein Standardfehler zugeordnet ist. Das ist nicht überraschend, weil wir zu viel von den Daten verlangen! Unsere Daten haben nicht genügend Informationen, um die vielen zufälligen Auswirkungen abzuschätzen. Eine Lösung, um das Modell richtig zu identifizieren, besteht darin, die Kovarianz zwischen Intercept und Time zu beseitigen, die in diesem Fall Null ist:
Figur 4. Ergebnisse des unbedingten LME-Modells ohne Kovarianz zufälliger Intercept-Effekte und Zeit.
Dieses bedingungslose Modell liefert nützliche Informationen über den betrachteten Prozess: Da Time mit 0/1 codiert ist, deutet der signifikante fixe Effekt des Intercept darauf hin, dass Kunden eine durchschnittliche Zufriedenheitsbewertung von 4,04 bei der ersten Messung haben, die signifikant von Null abweicht ( siehe Abbildung 5). Es ist wichtig, dass Kunden aufgrund des signifikanten zufälligen Effekts der Kundennummer (dies ist die Varianz oder der zufällige Effekt für den Abschnitt) signifikant von diesem Durchschnittswert abweicht. Darüber hinaus deuten die nicht signifikanten festen und zufälligen Auswirkungen von Time darauf hin, dass sich die durchschnittliche Kundenzufriedenheit nicht bei der zweiten Bewertung ändert. Dies gilt für alle Kunden. Da es sich bei diesem Modell nur um Kundenzufriedenheit handelt, modellieren wir im Wesentlichen das, was hier dargestellt wird:
Abbildung 5. Spaghetti-Plot der individuellen Kundenzufriedenheitswege mit überlagerter großer mittlerer Flugbahn.
Um die Kundenzufriedenheit besser zu verstehen, können wir zu der ursprünglichen Frage Ihres Vorgesetzten zurückkehren: Hat der Effekt, dass das Produkt eines Mitbewerbers dazu verwendet wurde, wie sich die Zufriedenheit Ihrer Kunden im Laufe der Zeit verändert hat? Nun, wir wissen bereits, dass sich die Kundenzufriedenheit im Laufe der Zeit NICHT verändert hat. Sie könnten also hier aufhören, aber wir entdecken etwas Neues, wenn wir die Ergebnisse eines "bedingten" LME-Modells untersuchen. Das heißt, einer, bei dem unser wichtiger Prädiktor von Interesse als Prädiktor in das Modell eingegeben wird:
Abbildung 6 Bedingtes LME-Modell der Kundenzufriedenheit über die Zeit und des Gruppierungsprädiktors.
Wie zuvor haben wir die Kovarianz zwischen Intercept und Time ausgeschlossen, da nur zwei Messungen zu wenig Informationen liefern, um einen solchen Effekt abzuschätzen. Dies kann wichtige Auswirkungen haben, auf die ich in den nachstehenden Schlüsselpunkten näher eingehen möchte.
Unsere bedingten LME-Modellergebnisse beleuchten Lords Paradox und helfen uns, das Gesamtbild zu verstehen.
Interpretation der Ergebnisse des bedingten LME-Modells
Erstens ist keiner der Zufallseffekte signifikant, was darauf hindeutet, dass die Schätzungen der festen Effekte unsere gesamte Kundengruppe ausmachen. Zweitens sind der Intercept- und der Key Grouping-Prädiktor signifikant. Da Time mit 0/1 codiert ist, repräsentiert Intercept (3,54) die durchschnittliche Kundenzufriedenheitsbewertung zum Zeitpunkt 1 für diejenigen, die das Produkt des Konkurrenten verwendet haben (dies entspricht der roten Linie in der Spaghetti-Grafik von Abbildung 1). Es gibt keine Auswirkungen von Time, daher hat sich die durchschnittliche Kundenzufriedenheit von 3,54 bei denjenigen, die das Produkt des Mitbewerbers verwendet haben, nicht von 1 bis 2 verändert. Der signifikante Effekt des Schlüsselprädiktors (die Gruppierungsvariable) weist auf einen signifikanten Unterschied der Kundenzufriedenheit von 1 Einheit zum Zeitpunkt 1 zwischen denjenigen hin, die das Produkt des Mitbewerbers verwendet haben und nicht. Diejenigen, die das Produkt Ihres Konkurrenten nicht verwendet haben, erzielten im Durchschnitt eine Kundenzufriedenheit von etwa 4,54. Schließlich zeigt das Fehlen einer signifikanten Interaktion der Gruppierungsvariablen mit der Zeit keinen erkennbaren Zeitunterschied in der Kundenzufriedenheit für diejenigen, die das Produkt des Mitbewerbers nicht verwendet haben.
Die LME-Modelle geben uns ein größeres Bild der Muster in unseren Daten, dies geht jedoch mit einer erhöhten Komplexität bei der Modellierung und Interpretation der Modelle einher - sicherlich im Vergleich zu ANCOVA und t -Prüfung! Ich möchte Ihnen einige wichtige Punkte zu Lords Paradox und den drei Modellen geben, die wir an diese Daten anpassen.
Wichtige Punkte
- Die ANCOVA und t -Testmodelle führten zu widersprüchlichen Schlussfolgerungen. Die widersprüchlichen Schlussfolgerungen kamen zustande, weil die Daten beobachtend sind (dh aus einer nicht randomisierten Studie stammen) und Basisunterschiede bezüglich des Prädiktors für das Interesse (ob Kunden ein Produkt eines Mitbewerbers verwendet haben) haben.
- Das ANCOVA-Modell wird von manchen als Modell für „verbliebene Veränderung“ betrachtet. ANCOVA eignet sich für die Analyse von Daten, die von dort stammen ein Bevölkerung oder wenn Sie keine Basislinienunterschiede bei einem Prädiktor von Interesse haben (dies ist wahrscheinlich in randomisierten Studien der Fall).
- Das t -test auf einem Unterschiedswert erfasst Änderungen innerhalb einer Person, enthält jedoch keine Informationen über die anfänglichen Stufen Ihres Konstrukts (z. B. Kundenzufriedenheit).
- Ein lineares Mixed-Effects-Modell ist hilfreich für die Charakterisierung eines Prozesses, der sich über die Zeit entwickelt. Hier wurden die scheinbar widersprüchlichen Ergebnisse zwischen der ANCOVA und t -Prüfung. Mit nur zwei Zeitpunkten können jedoch einige Aspekte des Prozesses verloren gehen, z. B. die Zuordnung zwischen dem Startpunkt und der darauf folgenden Änderung. Dies war die Kovarianz zwischen Intercept und Time in den oben genannten LME-Modellen, die wir auf Null setzen. In dem Maße, in dem eine solche Kovarianz ungleich Null ist, können Schätzungen im Modell verzerrt sein.
- Wenn Sie daran interessiert sind, wie sich eine Variable im Laufe der Zeit verändert und welche Auswirkungen andere Variablen auf diese Änderung haben, sollten Sie sich bemühen, mindestens drei Messungen durchzuführen. Auf diese Weise können Sie ein LME-Modell anpassen, Änderungen besser charakterisieren und die Auswirkungen von Interesse abschätzen.
- Lords Paradox ist ein komplexes Phänomen, und die Forscher haben unterschiedliche Meinungen, wie sie mit potenziellen widersprüchlichen Schlussfolgerungen umgehen können. Eine gute Quelle, um mehr über dieses Thema zu erfahren, ist van Breukelen (2013).
Verweise
Lord, FM (1967). Ein Paradox bei der Interpretation von Gruppenvergleichen. Psychologisches Bulletin, 68, 304-305.
van Breukelen, GJP (2013). ANCOVA im Vergleich zu CHANGE aus Studienbeginn in nicht randomisierten Studien: Die Unterschiede. Multivariate Verhaltensforschung, 48, 895–922.
