在我的上一篇文章在Lord's Paradox（1967）中，我展示了兩個模型，即使適用於相同的數據，也會導致相反的統計推斷。這些模型是協方差分析（ANCOVA）和 Ť - 根據兩次重複測量數據計算得出的差異分數。在這篇文章中，我通過討論第三個模型詳細說明了前面的例子： 線性混合效應（LME）模型 。
讓我們首先回顧一下我們假設示例中的數據是什麼樣的，以及來自ANCOVA和ANCOVA的關鍵結果 Ť - 測試 JMP （完整的結果見我的上一篇文章 ）：
圖1。兩個數據的意大利面圖和前一篇文章的結果摘要。
ANCOVA模型表明，在第二次客戶滿意度時使用競爭對手的產品會產生顯著影響，同時在第1時控制客戶滿意度（有些人可能會將此競爭對手的產品稱為“殘留”客戶滿意度變化） 。該 Ť 另一方面，測試表明，在使用競爭對手的產品和不使用競爭對手的產品之間，客戶滿意度的變化方式沒有差異。
使用線性混合效果模型
知道不同的模型對數據做出不同的假設，您可能想知道如果您的LME模型適合您的數據會發生什麼。實際上，許多領域認為LME模型是用於使用分層或嵌套結構建模數據的前沿方法（例如，嵌套在個體內的重複測量）。在這裡，LME模型可用於估計客戶滿意度隨時間的截距和斜率（即變化）以及關鍵預測因子對它們的影響。幸運的是 - 記住你只有兩次數據！- 你甚至可以估計截距和斜率的隨機效應。也就是說，估計客戶如何偏離平均軌跡。
原始數據需要一些操作，因此它們已準備好用於LME模型（向下滾動以從該帖子下載數據文件，其中包括下面所有LME模型的腳本）。我們來看看：
圖2。操作成長格式後的模擬數據。數據現在有一個客戶滿意度變量和一個時間變量，表示評估的時間（0 =時間1和1 =時間2）。你可以使用適合模型平台在 JMP 在JMP中使用混合模型個性來擬合客戶滿意度的“無條件”模型（提示：關閉中心多項式的選項，因為0已經表示我們預測變量的有意義值，並通過從紅色三角形菜單中選擇此選項來獲取指標參數化）。這是一個專注於表徵客戶滿意度軌蹟的模型：
圖3。無條件LME模型的結果與截距和時間的隨機效應的協方差。
請注意，沒有與Residual相關的標準錯誤。這並不奇怪，因為我們從數據中要求太多了！我們的數據沒有足夠的信息來估計這麼多隨機效應。正確識別模型的一個解決方案是消除攔截和時間之間的協方差，在這種情況下為零：
圖4。無條件LME模型的結果排除了截距和時間的隨機效應的協方差。
這個無條件模型為我們提供了有關正在考慮的過程的有用信息：因為時間編碼為0/1，截距的顯著固定效應表明客戶在第一次測量時的平均滿意度得分為4.04，與零顯著不同（見圖5）。重要的是，鑑於客戶ID的顯著隨機效應（這是截距的方差或隨機效應），客戶顯著偏離此平均值。此外，時間的非顯著固定和隨機效應表明平均客戶滿意度得分在第二次評估時沒有變化，這對所有客戶都是如此。因為這個模型只是關於客戶滿意度，所以我們基本上對這裡描述的內容進行建模：
圖5。單個客戶滿意度軌蹟的意粉圖與疊加的大平均軌跡。
通過更好地了解客戶滿意度軌跡，我們可以回到您的經理提出的原始問題：使用競爭對手的產品是否會影響客戶的滿意度隨時間的變化？好吧，我們已經知道客戶滿意度不會隨著時間的推移而改變，所以你可能會選擇停在這裡，但如果我們探索“條件”LME模型的結果，我們可能會發現新的東西。也就是說，我們的關鍵利益預測器作為模型中的預測器輸入：
圖6。隨時間變化的客戶滿意度的條件LME模型和分組預測器。
和以前一樣，我們排除了攔截和時間之間的協方差，因為只有兩次測量不能提供足夠的信息來估計這種影響 - 這可能具有重要意義，我將在下面的要點中詳細說明。
我們的有條件LME模型結果揭示了Lord's Paradox並幫助我們理解大局。
解釋條件LME模型的結果
首先，沒有一個隨機效應是顯著的，這表明固定效應的估計表徵了我們整個客戶群。其次，攔截和密鑰分組預測器是重要的。因為時間編碼為0/1，截距3.54表示使用競爭對手產品的人在時間1的平均客戶滿意度得分（這與圖1的意大利面圖中的紅線一致）。時間沒有影響，因此在使用競爭對手產品的用戶中，平均3.54的客戶滿意度得分從1時間到2時沒有變化。關鍵預測因子（分組變量）的顯著影響表明，在執行和未使用競爭對手產品的客戶之間，客戶滿意度在1個單位中存在顯著差異。也就是說，那些沒有使用競爭對手產品的人的平均客戶滿意度得分約為4.54。最後，分組變量與時間之間缺乏顯著的相互作用表明，對於那些沒有使用競爭對手產品的人來說，客戶滿意度在時間上沒有可檢測到的差異。
LME模型為我們提供了更大的數據模式圖，但這是以增加模型建模和解釋的複雜性為代價的 - 當然與ANCOVA和 Ť -測試！所以我將給你留下關於Lord's Paradox的一些關鍵點以及我們適合這些數據的三個模型。
關鍵點
- ANCOVA和 Ť - 測試模型導致了相互矛盾的推論。由於數據是觀察性的（即，來自非隨機研究），並且在利益預測因子（客戶是否使用過競爭對手的產品）方面存在基線差異，因此產生了相互矛盾的結論。
- 有人認為ANCOVA模型是“殘差變化”的模型。當您分析來自的數據時，ANCOVA是合適的。一人群或當您對感興趣的預測因子沒有基線差異時（隨機研究中可能就是這種情況）。
- 該 Ť - 差異分數測試可以捕獲人員內部變化，但不包括有關構建初始級別的信息（例如，客戶滿意度）。
- 線性混合效應模型可用於表徵隨時間展開的過程。在這裡，它澄清了ANCOVA和ANCOVA之間看似矛盾的結果 Ť -測試。但只有兩個時間點，過程的某些方面可能會丟失，例如起點和隨後的變化之間的關聯 - 這是上面LME模型中的截距和時間之間的協方差，我們將其設置為零。在這種協方差非零的程度上，模型中的估計可能是有偏差的。
- 相關地，當對變量如何隨時間變化以及變化中其他變量的影響感興趣時，努力至少進行三次測量。這將允許您適合LME模型，更好地表徵變化，並估計感興趣的影響。
- Lord's Paradox是一個複雜的現象，研究人員對如何最好地處理潛在的矛盾推論有不同的看法。van Breukelen（2013）是了解更多關於這一主題的一個很好的資源。
參考
Lord，FM（1967）。群體比較解釋中的一個悖論。心理學公報，68歲， 304-305。
van Breukelen，GJP（2013）。ANCOVA與非隨機研究中基線的變化：差異。多變量行為研究，48， 895-922。
